| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.6 Aplicaciones de ecuaciones lineales de segundo orden | 9.6.2 Problemas de muelles II |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.6.2
1. Un objeto de 64 libras estira un resorte 4 pies en equilibrio. Está unido a un amortiguador con constante de amortiguamiento c = 8 lb-seg/ft. El objeto se desplaza inicialmente 18 pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad hacia abajo de 4 pies/seg. Encuentre su desplazamiento y amplitud variable en el tiempo para t > 0.
2. C/G Un peso de 16 lb está sujeto a un resorte con una longitud natural de 5 pies. Con el peso sujeto, el resorte mide 8.2 pies. El peso se desplaza inicialmente 3 pies por debajo del equilibrio y se le da una velocidad hacia arriba de 2 pies/seg. Encuentre y grafique su desplazamiento para t > 0 si el medio resiste el movimiento con una fuerza de una lb por cada pie/seg de velocidad. Además, encuentre su amplitud variable en el tiempo.
3. C/G Un peso de 8 lb estira un resorte 1,5 pulgadas. Está unido a un amortiguador con constante de amortiguamiento c = 8 lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente 3 pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de 6 pies/seg. Encuentre y grafique su desplazamiento para t > 0.
4. Un peso de 96 libras estira un resorte 3,2 pies en equilibrio. Está unido a un amortiguador con constante de amortiguamiento c = 18 lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente 15 pulgadas por debajo del equilibrio y se le da una velocidad hacia abajo de 12 pies/seg. Encuentre su desplazamiento para t > 0.
5. Un peso de 16 libras estira un resorte 6 pulgadas en equilibrio. Está unido a un mecanismo amortiguador con constante c. Encuentre todos los valores de c tales que la vibración libre del peso tenga infinitas oscilaciones.
6. Un peso de 8 lb estira un resorte 0,32 ft. El peso se desplaza inicialmente 6 pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de 4 ft/seg. Encuentre su desplazamiento para t > 0 si el medio ejerce una fuerza de amortiguamiento de 1.5 lb por cada pie/seg de velocidad
7. Un peso de 32 libras estira un resorte 2 pies en equilibrio. Está conectado a un amortiguador con constante c = 8 lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente 8 pulgadas por debajo del equilibrio y se suelta desde el reposo. Encuentre su desplazamiento para t > 0.
8. Una masa de 20 g estira un resorte 5 cm. El resorte está unido a un amortiguador con una constante de amortiguamiento de 400 dinas seg/cm. Determine el desplazamiento para t > 0 si la masa se desplaza inicialmente 9 cm por encima del equilibrio y se suelta desde el reposo.
9. Un peso de 64 lb está suspendido de un resorte con constante k = 25 lb/ft. Inicialmente se desplaza 18 pulgadas por encima del equilibrio y se suelta desde el reposo. Encuentre su desplazamiento para t > 0 si el medio resiste el movimiento con 6 lb de fuerza por cada pie/seg de velocidad.
10. Un peso de 32 libras estira un resorte 1 pie en equilibrio. El peso se desplaza inicialmente 6 pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad hacia abajo de 3 pies/seg. Encuentre su desplazamiento para t > 0 si el medio resiste el movimiento con una fuerza igual a 3 veces la velocidad en pies/seg.
11. Un peso de 8 libras estira un resorte 2 pulgadas. Está unido a un amortiguador con constante de amortiguamiento c = 4 lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente 3 pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad hacia abajo de 4 pies/seg. Encuentre su desplazamiento para t > 0.
12. C/G Un peso de 2 lb estira un resorte 0,32 pies. El peso se desplaza inicialmente 4 pulgadas por debajo del equilibrio y se le da una velocidad hacia arriba de 5 pies/seg. El medio proporciona amortiguamiento con constante c = 1/8 lb-seg/ft. Encuentre y grafique el desplazamiento para t > 0.
13. Un peso de 8 lb estira un resorte 8 pulgadas en equilibrio. Está unido a un amortiguador con constante de amortiguamiento c = 0,5 lb-seg/pie y sujeto a una fuerza externa F(t) = 4 cos2t lb. Determine la componente de estado estacionario del desplazamiento para t > 0.
14. Un peso de 32 libras estira un resorte 1 pie en equilibrio. Está conectado a un amortiguador con constante c = 12 lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente 8 pulgadas por encima del equilibrio y se suelta desde el reposo. Encuentre su desplazamiento para t > 0
15. Una masa de un kg estira un resorte 49 cm en equilibrio. Un amortiguador unido al resorte proporciona una fuerza de amortiguamiento de 4 N por cada m/seg de velocidad. La masa se desplaza inicialmente 10 cm por encima del equilibrio y se le da una velocidad hacia abajo de 1 m/seg. Encuentre su desplazamiento para t > 0.
16. Una masa de 100 gramos estira un resorte 98 cm en equilibrio. Un amortiguador unido al resorte proporciona una fuerza de amortiguamiento de 600 dinas por cada cm/seg de velocidad. La masa se desplaza inicialmente 10 cm por encima del equilibrio y se le da una velocidad hacia abajo de 1 m/seg. Encuentre su desplazamiento para t > 0.
17. Un peso de 192 lb está suspendido de un resorte con constante k = 6 lb/ft y sujeto a una fuerza externa F(t) = 8 cos3t lb. Halle la componente de estado estacionario del desplazamiento para t > 0 si el medio resiste el movimiento con una fuerza igual a 8 veces la velocidad en ft/seg.
18. Una masa de 2 g está unida a un resorte con una constante de 20 dinas/cm. Encuentre el componente de estado estacionario del desplazamiento si la masa está sujeta a una fuerza externa F(t) = 3 cos4t − 5 sen4t dinas y un amortiguador proporciona 4 dinas de amortiguamiento por cada cm/seg de velocidad
19. C/G Un peso de 96 lb está unido a un resorte con constante de 12 lb/ft. Encuentre y grafique el componente de estado estacionario del desplazamiento si la masa está sujeta a una fuerza externa F(t) = 18 cost − 9 sent lb y un amortiguador proporciona 24 lb de amortiguamiento por cada pie/seg de velocidad.
20. Una masa de un kg estira un resorte 49 cm en equilibrio. Está unido a un amortiguador que proporciona una fuerza de amortiguamiento de 4 N por cada m/seg de velocidad. Encuentre la componente de estado estacionario de su desplazamiento si está sujeto a una fuerza externa F(t) = 8 sen2t − 6 cos2t N.
21. Una masa m está suspendida de un resorte con constante k y sujeta a una fuerza externa F(t) = αcosω0t + βsenω0t, donde ω0 es la frecuencia natural del sistema resorte-masa sin amortiguamiento. Encuentre el componente de estado estacionario del desplazamiento si un amortiguador con c constante proporciona amortiguamiento.
22. Demuestre que si c1 y c2 no son ambas cero, entonces
no puede ser igual a cero para más de un valor de t.
23. Demuestre que si c1 y c2 no son cero, entonces
no puede ser igual a cero para más de un valor de t.
24. Encuentra la solución del problema de valor inicial
my′′ + cy′ + ky = 0, y(0) = y0, y′(0) = v0,
dado que el movimiento está subamortiguado, entonces la solución general de la ecuación es
y = e−ct/2m(c1 cosω1t + c2 senω1t).
25. Encuentra la solución del problema de valor inicial
my′′ + cy′ + ky = 0, y(0) = y0, y′(0) = v0,
dado que el movimiento está sobreamortiguado, entonces la solución general de la ecuación es
26. Encuentra la solución del problema de valor inicial
my′′ + cy′ + ky = 0, y(0) = y0, y′(0) = v0,
dado que el movimiento está críticamente amortiguado, de modo que la solución general de la ecuación es de la forma
