| 11. Diferenciación de funciones de varias variables | 11.6 Derivadas direccionales y el gradiente |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 11.6.6
Para los siguientes ejercicios, halle la derivada direccional utilizando únicamente la definición de límite.
260. \( f(x, y) = 5 – 2x^2 – \frac{1}{2}y^2 \) en el punto \( P(3, 4) \) en la dirección de \( \mathbf{u} = (\cos \frac{\pi}{4})\mathbf{i} + (\sin \frac{\pi}{4})\mathbf{j} \)
261. \( f(x, y) = y^2 \cos(2x) \) en el punto \( P(\frac{\pi}{3}, 2) \) en la dirección de \( \mathbf{u} = (\cos \frac{\pi}{4})\mathbf{i} + (\sin \frac{\pi}{4})\mathbf{j} \)
262. Halle la derivada direccional de \( f(x, y) = y^2 \sin(2x) \) en el punto \( P(\frac{\pi}{4}, 2) \) en la dirección de \( \mathbf{u} = 5\mathbf{i} + 12\mathbf{j} \).
Para los siguientes ejercicios, halle la derivada direccional de la función en el punto \( P \) en la dirección de \( \mathbf{u} \) o \( \mathbf{v} \) según corresponda.
263. \( f(x, y) = xy, P(0, -2), \mathbf{v} = \frac{1}{2}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j} \)
264. \( h(x, y) = e^x \sin y, P(1, \frac{\pi}{2}), \mathbf{v} = -\mathbf{i} \)
265. \( h(x, y, z) = xyz, P(2, 1, 1), \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} – \mathbf{k} \)
266. \( f(x, y) = xy, P(1, 1), \mathbf{u} = \left\langle \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right\rangle \)
267. \( f(x, y) = x^2 – y^2, \mathbf{u} = \left\langle \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right\rangle, P(1, 0) \)
268. \( f(x, y) = 3x + 4y + 7, \mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle, P(0, \frac{\pi}{2}) \)
269. \( f(x, y) = e^x \cos y, \mathbf{u} = \langle 0, 1 \rangle, P = (0, \frac{\pi}{2}) \)
270. \( f(x, y) = y^{10}, \mathbf{u} = \langle 0, -1 \rangle, P = (1, -1) \)
271. \( f(x, y) = \ln(x^2 + y^2), \mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle, P(1, 2) \)
272. \( f(x, y) = x^2y, P(-5, 5), \mathbf{v} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j} \)
273. \( f(x, y, z) = y^2 + xz, P(1, 2, 2), \mathbf{v} = \langle 2, -1, 2 \rangle \)
Para los siguientes ejercicios, halle la derivada direccional de la función en la dirección del vector unitario \( \mathbf{u} = \cos \theta \mathbf{i} + \sin \theta \mathbf{j} \).
274. \( f(x, y) = x^2 + 2y^2, \theta = \frac{\pi}{6} \)
275. \( f(x, y) = \frac{y}{x+2y}, \theta = -\frac{\pi}{4} \)
276. \( f(x, y) = \cos(3x + y), \theta = \frac{\pi}{4} \)
277. \( w(x, y) = ye^x, \theta = \frac{\pi}{3} \)
278. \( f(x, y) = x \arctan(y), \theta = \frac{\pi}{2} \)
279. \( f(x, y) = \ln(x + 2y), \theta = \frac{\pi}{3} \)
Para los siguientes ejercicios, halle el gradiente.
280. Halle el gradiente de \( f(x, y) = \frac{14 – x^2 – y^2}{3} \). Luego, halle el gradiente en el punto \( P(1, 2) \).
281. Halle el gradiente de \( f(x, y, z) = xy + yz + xz \) en el punto \( P(1, 2, 3) \).
282. Halle el gradiente de \( f(x, y, z) \) en \( P \) y la derivada direccional en la dirección de \( \mathbf{u} \):
\( f(x, y, z) = \ln(x^2 + 2y^2 + 3z^2), P(2, 1, 4), \mathbf{u} = -\frac{3}{13}\mathbf{i} – \frac{4}{13}\mathbf{j} – \frac{12}{13}\mathbf{k} \).
283. \( f(x, y, z) = 4x^5y^2z^3, P(2, -1, 1), \mathbf{u} = \frac{1}{3}\mathbf{i} + \frac{2}{3}\mathbf{j} – \frac{2}{3}\mathbf{k} \)
Para los siguientes ejercicios, halle la derivada direccional de la función en el punto \( P \) en la dirección de \( Q \).
284. \( f(x, y) = x^2 + 3y^2, P(1, 1), Q(4, 5) \)
285. \( f(x, y, z) = \frac{y}{x+z}, P(2, 1, -1), Q(-1, 2, 0) \)
Para los siguientes ejercicios, halle la derivada de la función en \( P \) en la dirección de \( \mathbf{u} \).
286. \( f(x, y) = -7x + 2y, P(2, -4), \mathbf{u} = 4\mathbf{i} – 3\mathbf{j} \)
287. \( f(x, y) = \ln(5x + 4y), P(3, 9), \mathbf{u} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j} \)
288. [T] Utilice la tecnología para esbozar la curva de nivel de \( f(x, y) = 4x – 2y + 3 \) que pasa por \( P(1, 2) \) y dibuje el vector gradiente en \( P \).
289. [T] Utilice la tecnología para esbozar la curva de nivel de \( f(x, y) = x^2 + 4y^2 \) que pasa por \( P(-2, 0) \) y dibuje el vector gradiente en \( P \).
Para los siguientes ejercicios, halle el vector gradiente en el punto indicado.
290. \( f(x, y) = xy^2 – yx^2, P(-1, 1) \)
291. \( f(x, y) = xe^y – \ln(x), P(-3, 0) \)
292. \( f(x, y, z) = xy – \ln(z), P(2, -2, 2) \)
293. \( f(x, y, z) = x\sqrt{y^2 + z^2}, P(-2, -1, -1) \)
Para los siguientes ejercicios, halle la derivada de la función.
294. \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 \) en el punto \( (-5, -4) \) en la dirección en que la función aumenta más rápidamente.
295. \( f(x, y) = e^{xy} \) en el punto \( (6, 7) \) en la dirección en que la función aumenta más rápidamente.
296. \( f(x, y) = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) \) en el punto \( (-9, 9) \) en la dirección en que la función aumenta más rápidamente.
297. \( f(x, y, z) = \ln(xy + yz + zx) \) en el punto \( (-9, -18, -27) \) en la dirección en que la función aumenta más rápidamente.
298. \( f(x, y, z) = \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \) en el punto \( (5, -5, 5) \) en la dirección en que la función aumenta más rápidamente.
Para los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio máxima de \( f \) en el punto dado y la dirección en la que ocurre.
299. \( f(x, y) = xe^{-y}, (1, 0) \)
300. \( f(x, y) = \sqrt{x^2 + 2y}, (4, 10) \)
301. \( f(x, y) = \cos(3x + 2y), \left( \frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{8} \right) \)
Para los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones de
- el plano tangente y
- la recta normal a la superficie dada en el punto indicado.
302. La superficie de nivel \( f(x, y, z) = 12 \) para \( f(x, y, z) = 4x^2 – 2y^2 + z^2 \) en el punto \( (2, 2, 2) \).
303. \( f(x, y, z) = xy + yz + xz = 3 \) en el punto \( (1, 1, 1) \)
304. \( f(x, y, z) = xyz = 6 \) en el punto \( (1, 2, 3) \)
305. \( f(x, y, z) = xe^y \cos z – z = 1 \) en el punto \( (1, 0, 0) \)
Para los siguientes ejercicios, resuelva el problema.
306. La temperatura \( T \) en una esfera de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la esfera (el origen: \( (0, 0, 0) \)). La temperatura en el punto \( (1, 2, 2) \) es 120°C.
- Halle la tasa de cambio de la temperatura al punto \( (1, 2, 2) \) en la dirección hacia el punto \( (2, 1, 3) \).
- Demuestre que, en cualquier punto de la esfera, la dirección de mayor aumento de temperatura está dada por un vector que apunta hacia el origen.
307. El potencial eléctrico (voltaje) en una cierta región del espacio está dado por la función \( V(x, y, z) = 5x^2 – 3xy + xyz \).
- Halle la tasa de cambio del voltaje en el punto \( (3, 4, 5) \) en la dirección del vector \( \langle 1, 1, -1 \rangle \).
- ¿En qué dirección cambia el voltaje más rápidamente en el punto \( (3, 4, 5) \)?
- ¿Cuál es la tasa de cambio máxima del voltaje en el punto \( (3, 4, 5) \)?
308. Si el potencial eléctrico en un punto \( (x, y) \) en el plano \( xy \) es \( V(x, y) = e^{-2x} \cos(2y) \), entonces el vector de intensidad eléctrica en \( (x, y) \) es \( \mathbf{E} = -\nabla V(x, y) \).
- Halle el vector de intensidad eléctrica en \( \left( \frac{\pi}{4}, 0 \right) \).
- Demuestre que, en cada punto del plano, el potencial eléctrico disminuye más rápidamente en la dirección del vector \( \mathbf{E} \).
309. En dos dimensiones, el movimiento de un fluido ideal se rige por un potencial de velocidad \( \phi \). Las componentes de la velocidad del fluido \( u \) en la dirección \( x \) y \( v \) en la dirección \( y \), están dadas por \( \langle u, v \rangle = \nabla \phi \). Halle las componentes de la velocidad asociadas con el potencial de velocidad \( \phi(x, y) = \sin \pi x \sin 2\pi y \).