| 11. Diferenciación de funciones de varias variables | 11.1. Funciones de varias variables |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 11.1

       Para los siguientes ejercicios, evalúe cada función en los valores indicados.

1.  W(x, y) = 4x² + y². Encuentre W(2, −1), W(−3, 6).

2.  W(x, y) = 4x² + y². Encuentre W(2 + h, 3 + h).

Ver la solución del Ejercicio 1

3. El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una función de dos variables, V(x, y) = πx²y, donde x es el radio del cilindro circular recto e y representa la altura del cilindro. Evalúe V(2, 5) y explique lo que esto significa.

4. Un tanque de oxígeno está construido a partir de un cilindro recto de altura y y radio x, con dos hemisferios de radio x montados en la parte superior e inferior del cilindro. Exprese el volumen del tanque en función de dos variables, x e y, encuentre V(2, 10) y explique lo que esto significa.

Ver la solución del Ejercicio 4

      Para los siguientes ejercicios, encuentre el dominio de la función.

5.  V(x, y) = 4x² + y²

6.  f (x, y) = √(x² + y² − 4)

7.  f (x, y) = 4ln(y² − x)

8.  g(x, y) = √(16 − 4x² − y² )

9.  z(x, y) = y² − x²

Ver la solución del Ejercicio 7

      Encuentra el rango de las siguientes funciones.

11. g(x, y) = √(16 − 4x² − y² )

12.  V(x, y) = 4x² + y²

13.  z(x, y) = y² − x²

      Para los siguientes ejercicios, encuentre las curvas de nivel de cada función en el valor indicado de c para visualizar la función dada.

14.  z(x, y) = y² − x², c = 1

15.  z(x, y) = y² − x², c = 4

16.  g(x, y) = x² + y²; c = 4, c = 9

17.  g(x, y) = 4 − x − y; c = 0, c = 4

18.  f (x, y) = xy; c = 1; c = −1

19.  h(x, y) = 2x − y; c = 0, −2, c = 2

20.  f (x, y) = x² − y; c = 1, c = 2

21.  g(x, y) = x/(x + y); c = −1, c = 0, c = 2

22. \(g(x, y) = x^3 – y; c = -1, 0, 2\)
23. \(g(x, y) = e^{xy}; c = \frac{1}{2}, 3\)
24. \(f(x, y) = x^2; c = 4, 9\)
25. \(f(x, y) = xy – x; c = -2, 0, 2\)
26. \(h(x, y) = \ln(x^2 + y^2); c = -1, 0, 1\)
27. \(g(x, y) = \ln\left(\frac{y}{x^2}\right); c = -2, 0, 2\)
28. \(z = f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}; c = 3\)
29. \(f(x, y) = \frac{y+2}{x^2}, c = \text{cualquier constante}\)

Para los ejercicios siguientes, encuentra las trazas verticales de las funciones en los valores indicados de 𝑥 y y, grafica dichas trazas:

30. \(z = 4 – x – y; x = 2\)
31. \(f(x, y) = 3x + y^3; x = 1\)
32. \(z = \cos\sqrt{x^2 + y^2}; x = 1\)

Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

33. \(z = \sqrt{100 – 4x^2 – 25y^2}\)
34. \(z = \ln (x – y^2)\)
35. \(f(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{36 – 4x^2 – 9y^2 – z^2}}\)
36. \(f(x, y, z) = \sqrt{49 – x^2 – y^2 – z^2}\)
37. \(f(x, y, z) = \sqrt[3]{16 – x^2 – y^2 – z^2}\)
38. \(f(x, y) = \cos\sqrt{x^2 + y^2}\)

En los siguientes ejercicios, grafica la función:

39. \(z = f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\)
40. \(z = x^2 + y^2\)
41. Use tecnología para graficar \(z = x^2y\).

Esboza lo siguiente encontrando las curvas de nivel. Verifica la gráfica usando tecnología:

42. \(f(x, y) = \sqrt{4 – x^2 – y^2}\)
43. \(f(x, y) = 2 – \sqrt{x^2 + y^2}\)
44. \(z = 1 + e^{-x^2 – y^2}\)
45. \(z = \cos\sqrt{x^2 + y^2}\)
46. \(z = y^2 – x^2\)
47. Describa las curvas de nivel para varios valores de \(c\) para \(z = x^2 + y^2 – 2x – 2y\).

Encuentra la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descríbela:

48. \(w(x, y, z) = x – 2y + z, c = 4\)
49. \(w(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2, c = 9\)
50. \(w(x, y, z) = x^2 + y^2 – z^2, c = -4\)
51. \(w(x, y, z) = x^2 + y^2 – z^2, c = 4\)
52. \(w(x, y, z) = 9x^2 – 4y^2 + 36z^2, c = 0\)

En los siguientes ejercicios, encuentra una ecuación de la curva de nivel de f que contenga el punto P:

53. \(f(x, y) = 1 – 4x^2 – y^2, P(0, 1)\)
54. \(g(x, y) = y^2 \arctan x, P(1, 2)\)
55. \(g(x, y) = e^{xy}(x^2 + y^2), P(1, 0)\)

56. La intensidad \(E\) de un campo eléctrico en el punto \((x, y, z)\) resultante de un cable cargado infinitamente largo tendido a lo largo del eje \(y\) está dada por \(E(x, y, z) = k/\sqrt{x^2 + z^2}\), donde \(k\) es una constante positiva. Para simplificar, sea \(k = 1\) y encuentre las ecuaciones de las superficies de nivel para \(E = 10\) y \(E = 100\).
57. Una placa delgada de hierro está ubicada en el plano \(xy\). La temperatura \(T\) en grados Celsius en un punto \(P(x, y)\) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia desde el origen. Exprese \(T\) como una función de \(x\) y \(y\).
58. Refiérase al problema anterior. Usando la función de temperatura encontrada allí, determine la constante de proporcionalidad si la temperatura en el punto \(P(1, 2)\) es \(50^\circ\text{C}\). Use esta constante para determinar la temperatura en el punto \(Q(3, 4)\).
59. Refiérase al problema anterior. Encuentre las curvas de nivel para \(T = 40^\circ\text{C}\) y \(T = 100^\circ\text{C}\), y describa lo que representan las curvas de nivel.