12. Integración múltiple

12.1 Integrales dobles sobre regiones rectangulares
12.2 Integrales dobles sobre regiones generales
12.3 Integrales dobles en coordenadas polares
12.4 Integrales triples

12.5 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
12.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia
12.7 Cambio de variables en integrales múltiples

**Figura 12.1** La Ciudad de las Artes y las Ciencias en Valencia, España, tiene una estructura única a lo largo de un eje de apenas dos kilómetros que anteriormente era el lecho del río Turia. El l’Hemisfèric cuenta con un cine IMAX con tres sistemas de proyección digital moderna sobre una pantalla cóncava de 900 metros cuadrados. Un techo ovalado de más de 100 metros de longitud ha sido diseñado para parecer un enorme ojo humano que cobra vida y se abre al mundo como el “Ojo de la Sabiduría”.

En este capítulo extendemos el concepto de integral definida de una sola variable a integrales dobles y triples de funciones de dos y tres variables, respectivamente. Examinamos aplicaciones de la integración para calcular volúmenes, masas y centroides de regiones más generales. También veremos cómo el uso de otros sistemas de coordenadas (como las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas) facilita el cálculo de integrales múltiples sobre ciertos tipos de regiones y funciones. Como ejemplo, utilizaremos coordenadas polares para hallar el volumen de estructuras como el l’Hemisfèric. (Véase el Ejemplo 12.5.9.)

En el capítulo anterior, analizamos el cálculo diferencial con múltiples variables independientes. Ahora examinamos el cálculo integral en múltiples dimensiones. Así como una derivada parcial nos permite derivar una función con respecto a una variable manteniendo constantes las demás variables, veremos que una integral iterada nos permite integrar una función con respecto a una variable manteniendo constantes las demás variables.