12.7 Cambio de variables en integrales múltiples

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Ejercicios propuestos para el Capítulo 12.7

En los siguientes ejercicios, se da la función $ T : S \to R $, $ T(u, v) = (x, y) $ en la región $ S = \{ (u, v) \mid 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1 \} $ acotada por el cuadrado unitario, donde $ R \subset \mathbb{R}^2 $ es la imagen de $ S $ bajo $ T $.

Justifique que la función $ T $ es una transformación $ C^1 $.
Encuentre las imágenes de los vértices del cuadrado unitario $ S $ a través de la función $ T $.
Determine la imagen $ R $ del cuadrado unitario $ S $ y grafíquela.

356. $ x = 2u, y = 3v $

357. $ x = \frac{u}{2}, y = \frac{v}{3} $

358. $ x = u – v, y = u + v $

359. $ x = 2u – v, y = u + 2v $

360. $ x = u^2, y = v^2 $

361. $ x = u^3, y = v^3 $

En los siguientes ejercicios, determine si las transformaciones $ T : S \to R $ son uno a uno o no.

362. $ x = u^2, y = v^2 $, donde $ S $ es el rectángulo de vértices $ (-1, 0), (1, 0), (1, 1), $ y $ (-1, 1) $.

363. $ x = u^4, y = u^2 + v $, donde $ S $ es el triángulo de vértices $ (-2, 0), (2, 0), $ y $ (0, 2) $.

364. $ x = 2u, y = 3v $, donde $ S $ es el cuadrado de vértices $ (-1, 1), (-1, -1), (1, -1), $ y $ (1, 1) $.

365. $ T(u, v) = (2u – v, u) $, donde $ S $ es el triángulo de vértices $ (-1, 1), (-1, -1), $ y $ (1, -1) $.

366. $ x = u + v + w, y = u + v, z = w $, donde $ S = R = \mathbb{R}^3 $.

367. $ x = u^2 + v + w, y = u^2 + v, z = w $, donde $ S = R = \mathbb{R}^3 $.

En los siguientes ejercicios, las transformaciones $ T : S \to R $ son uno a uno. Encuentre sus transformaciones inversas relacionadas $ T^{-1} : R \to S $.

368. $ x = 4u, y = 5v $, donde $ S = R = \mathbb{R}^2 $.

369. $ x = u + 2v, y = -u + v $, donde $ S = R = \mathbb{R}^2 $.

370. $ x = e^{2u+v}, y = e^{u-v} $, donde $ S = \mathbb{R}^2 $ y $ R = \{ (x, y) \mid x > 0, y > 0 \} $.

371. $ x = \ln u, y = \ln(uv) $, donde $ S = \{ (u, v) \mid u > 0, v > 0 \} $ y $ R = \mathbb{R}^2 $.

372. $ x = u + v + w, y = 3v, z = 2w $, donde $ S = R = \mathbb{R}^3 $.

373. $ x = u + v, y = v + w, z = u + w $, donde $ S = R = \mathbb{R}^3 $.

En los siguientes ejercicios, se dan la transformación $ T : S \to R $, $ T(u, v) = (x, y) $ y la región $ R \subset \mathbb{R}^2 $. Encuentre la región $ S \subset \mathbb{R}^2 $.

374. $ x = au, y = bv, R = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 \leq a^2b^2 \} $, donde $ a, b > 0 $.

375. $ x = au, y = bv, R = \{ (x, y) \mid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1 \} $, donde $ a, b > 0 $.

376. $ x = \frac{u}{a}, y = \frac{v}{b}, z = \frac{w}{c}, R = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \} $, donde $ a, b, c > 0 $.

377. $ x = au, y = bv, z = cw, R = \{ (x, y) \mid \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} – \frac{z^2}{c^2} \leq 1, z > 0 \} $, donde $ a, b, c > 0 $.

En los siguientes ejercicios, encuentre el Jacobiano $ J $ de la transformación.

378. $ x = u + 2v, y = -u + v $

379. $ x = \frac{u^3}{2}, y = \frac{v}{u^2} $

380. $ x = e^{2u-v}, y = e^{u+v} $

381. $ x = ue^v, y = e^{-v} $

382. $ x = u \cos(e^v), y = u \sin(e^v) $

383. $ x = v \sin(u^2), y = v \cos(u^2) $

384. $ x = u \cosh v, y = u \sinh v, z = w $

385. $ x = v \cosh\left(\frac{1}{u}\right), y = v \sinh\left(\frac{1}{u}\right), z = u + w^2 $

386. $ x = u + v, y = v + w, z = u $

387. $ x = u – v, y = u + v, z = u + v + w $

388. La región triangular $ R $ con los vértices $ (0, 0), (1, 1), $ y $ (1, 2) $ se muestra en la siguiente figura.

a. Encuentre una transformación $ T : S \to R $, $ T (u, v) = (x, y) = (au + bv, cu + dv) $, donde $ a, b, c, $ y $ d $ son números reales con $ ad – bc \neq 0 $ tal que $ T^{-1} (0, 0) = (0, 0) $, $ T^{-1} (1, 1) = (1, 0) $, y $ T^{-1} (1, 2) = (0, 1) $.

b. Use la transformación $ T $ para encontrar el área $ A (R) $ de la región $ R $.

389. La región triangular $R$ con vértices $(0,0)$, $(2,0)$ y $(1,3)$ se muestra en la siguiente figura.

b. Use la transformación $ T $ para encontrar el área $ A (R) $ de la región $ R $.

En los siguientes ejercicios, use la transformación $u=y-x$, $v=y$, para evaluar las integrales sobre el paralelogramo $R$ con vértices $(0,0)$, $(1,0)$, $(2,1)$ y $(1,1)$, que se muestra en la siguiente figura.

390. $\iint_R (y-x)\, dA$

391. $\iint_R (y^2-xy)\, dA$

En los siguientes ejercicios, use la transformación $y-x=u$, $x+y=v$, para evaluar las integrales sobre el cuadrado $R$ determinado por las rectas $y=x$, $y=-x+2$, $y=x+2$ y $y=-x$, que se muestra en la siguiente figura.

392. $ \displaystyle \iint\limits_{R} e^{x+y} \, dA $

393. $ \displaystyle \iint\limits_{R} \sin(x – y) \, dA $

En los siguientes ejercicios, use la transformación $x=u$, $5y=v$, para evaluar las integrales sobre la región $R$ limitada por la elipse $x^2+25y^2=1$, que se muestra en la siguiente figura.

394. $ \displaystyle \iint\limits_{R} \sqrt{x^2 + 25y^2} \, dA $

395. $ \displaystyle \iint\limits_{R} (x^2 + 25y^2)^2 \, dA $

En los siguientes ejercicios, use la transformación $u=x+y$, $v=x-y$, para evaluar las integrales sobre la región trapezoidal $R$ determinada por los puntos $(1,0)$, $(2,0)$, $(0,2)$ y $(0,1)$, que se muestra en la siguiente figura.

396. $ \displaystyle \iint\limits_{R} (x^2 – 2xy + y^2) e^{x+y} \, dA $

397. $ \displaystyle \iint\limits_{R} (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) \, dA $

398. El sector de corona circular $ R $ acotado por los círculos $ 4x^2 + 4y^2 = 1 $ y $ 9x^2 + 9y^2 = 64 $, la recta $ x = y\sqrt{3} $, y el eje $ y $ se muestra en la siguiente figura. Encuentre una transformación $ T $ de una región rectangular $ S $ en el plano $ r\theta $ a la región $ R $ en el plano $ xy $. Grafique $ S $.

399. El sólido $R$ limitado por el cilindro circular $x^2+y^2=9$ y los planos $z=0$, $z=1$, $x=0$ y $y=0$ se muestra en la siguiente figura. Halle una transformación $T$ desde una caja cilíndrica $S$ en el espacio $r\theta z$ hacia el sólido $R$ en el espacio $xyz$.

400. Demuestre que $ \displaystyle \iint\limits_{R} f \left( \sqrt{\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{3}} \right) \, dA = 2\pi\sqrt{15} \int_{0}^{1} f(\rho) \, \rho \, d\rho $, donde $ f $ es una función continua en $ [0, 1] $ y $ R $ es la región acotada por la elipse $ 5x^2 + 3y^2 = 15 $.

401. Demuestre que $ \displaystyle \iiint\limits_{R} f \left( \sqrt{16x^2 + 4y^2 + z^2} \right) \, dV = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} f(\rho) \, \rho^2 \, d\rho $, donde $ f $ es una función continua en $ [0, 1] $ y $ R $ es la región acotada por el elipsoide $ 16x^2 + 4y^2 + z^2 = 1 $.

402. [T] Halle el área de la región acotada por las curvas $ xy = 1 $, $ xy = 3 $, $ y = 2x $, y $ y = 3x $ usando la transformación $ u = xy $ y $ v = \frac{y}{x} $. Use un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar las curvas de frontera de la región $ R $.

403. [T] Halle el área de la región acotada por las curvas $ x^2y = 2 $, $ x^2y = 3 $, $ y = x $, y $ y = 2x $ usando la transformación $ u = x^2y $ y $ v = \frac{y}{x} $. Use un CAS para graficar las curvas de frontera de la región $ R $.

404. Evalúe la integral triple $ \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \int_{z}^{z+1} (y + 1) \, dx \, dy \, dz $ usando la transformación $ u = x – z $, $ v = 3y $, y $ w = \frac{z}{2} $.

405. Evalúe la integral triple $ \displaystyle \int_{0}^{2} \int_{4}^{6} \int_{3z}^{3z+2} (5 – 4y) \, dx \, dz \, dy $ usando la transformación $ u = x – 3z $, $ v = 4y $, y $ w = z $.

406. Una transformación $ T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, T(u, v) = (x, y) $ de la forma $ x = au + bv $, $ y = cu + dv $, donde $ a, b, c, $ y $ d $ son números reales, se llama lineal. Demuestre que una transformación lineal para la cual $ ad – bc \neq 0 $ mapea paralelogramos en paralelogramos.

407. La transformación $ T_{\theta} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, T_{\theta}(u, v) = (x, y) $, donde $ x = u \cos \theta – v \sin \theta $, $ y = u \sin \theta + v \cos \theta $, se llama rotación de ángulo $ \theta $. Demuestre que la transformación inversa de $ T_{\theta} $ satisface $ T_{\theta}^{-1} = T_{-\theta} $, donde $ T_{-\theta} $ es la rotación de ángulo $ -\theta $.

408. [T] Use los resultados del ejercicio anterior para hallar la región $ S $ en el plano $ uv $ cuya imagen mediante una rotación de ángulo $ \frac{\pi}{4} $ es la región $ R $ encerrada por la elipse $ x^2 + 4y^2 = 1 $. Use un CAS para responder a las siguientes preguntas.

a. Grafique la región $ S $.
b. Evalúe la integral $ \displaystyle \iint\limits_{S} e^{-2uv} \, du \, dv $. Redondee su respuesta a dos decimales.

409. [T] Las transformaciones $ T_i : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, i = 1, \dots, 4 $, definidas por $ T_1(u, v) = (u, -v) $, $ T_2(u, v) = (-u, v) $, $ T_3(u, v) = (-u, -v) $, y $ T_4(u, v) = (v, u) $ se llaman reflexiones respecto al eje $ x $, eje $ y $, el origen y la recta $ y = x $, respectivamente.

a. Halle la imagen de la región $ S = \{ (u, v) | u^2 + v^2 – 2u – 4v + 1 \leq 0 \} $ en el plano $ xy $ mediante la transformación $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 \circ T_4 $.
b. Use un CAS para graficar $ R $.
c. Evalúe la integral $ \displaystyle \iint\limits_{S} \sin(u^2) \, du \, dv $ usando un CAS. Redondee su respuesta a dos decimales.

410. [T] La transformación $ T_{k,1,1} : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, T_{k,1,1}(u, v, w) = (x, y, z) $ de la forma $ x = ku, y = v, z = w $, donde $ k \neq 1 $ es un número real positivo, se llama estiramiento si $ k > 1 $ y compresión si $ 0 < k < 1 $ en la dirección $ x $. Use un CAS para evaluar la integral $ \displaystyle \iiint\limits_{S} e^{-(4x^2 + 9y^2 + 25z^2)} \, dx \, dy \, dz $ sobre el sólido $ S = \{ (x, y, z) | 4x^2 + 9y^2 + 25z^2 \leq 1 \} $ considerando la compresión $ T_{2,3,5}(u, v, w) = (x, y, z) $ definida por $ x = \frac{u}{2}, y = \frac{v}{3}, $ y $ z = \frac{w}{5} $. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

411. [T] La transformación $ T_{a,0} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, T_{a,0}(u, v) = (u + av, v) $, donde $ a \neq 0 $ es un número real, se llama cizallamiento en la dirección $ x $. La transformación $ T_{0,b} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, T_{0,b}(u, v) = (u, bu + v) $, donde $ b \neq 0 $ es un número real, se llama cizallamiento en la dirección $ y $.

a. Halle las transformaciones $ T_{0,2} \circ T_{3,0} $.
b. Halle la imagen $ R $ de la región trapezoidal $ S $ acotada por $ u = 0, v = 0, v = 1, $ y $ v = 2 – u $ mediante la transformación $ T_{0,2} \circ T_{3,0} $.
c. Use un CAS para graficar la imagen $ R $ en el plano $ xy $.
d. Halle el área de la región $ R $ usando el área de la región $ S $.

412. Use la transformación $ x = au, y = av, z = cw $ y coordenadas esféricas para demostrar que el volumen de una región acotada por el esferoide $ \displaystyle \frac{x^2+y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $ es $ \displaystyle \frac{4\pi a^2 c}{3} $.

413. Halle el volumen de un balón de fútbol americano cuya forma es un esferoide $ \displaystyle \frac{x^2+y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $ cuya longitud de punta a punta es 11 pulgadas y la circunferencia en el centro es 22 pulgadas. Redondee su respuesta a dos decimales.

414. [T] Los óvalos de Lamé (o superelipses) son curvas planas de ecuaciones $ \left( \frac{x}{a} \right)^n + \left( \frac{y}{b} \right)^n = 1 $, donde $ a, b, $ y $ n $ son números reales positivos.

a. Use un CAS para graficar las regiones $ R $ acotadas por los óvalos de Lamé para $ a = 1, b = 2, n = 4 $ y $ n = 6 $, respectivamente.
b. Halle las transformaciones que mapean la región $ R $ acotada por el óvalo de Lamé $ x^4 + y^4 = 1 $, también llamado “squircle” y graficado en la siguiente figura, en el disco unitario.
c. Use un CAS para hallar una aproximación del área $ A(R) $ de la región $ R $ acotada por $ x^4 + y^4 = 1 $. Redondee su respuesta a dos decimales.

415. [T] Los óvalos de Lamé han sido utilizados consistentemente por diseñadores y arquitectos. Por ejemplo, Gerald Robinson, un arquitecto canadiense, diseñó un estacionamiento en un centro comercial en Peterborough, Ontario, con la forma de una superelipse de ecuación $ \left( \frac{x}{a} \right)^n + \left( \frac{y}{b} \right)^n = 1 $ con $ \frac{a}{b} = \frac{9}{7} $ y $ n = e $. Use un CAS para hallar una aproximación del área del estacionamiento en el caso $ a = 900 $ yardas, $ b = 700 $ yardas, y $ n = 2.72 $.

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