| 12. Integración múltiple | 12.4 Integrales triples |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 12.4

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la caja sólida rectangular \( B \).

181. \( \displaystyle \iiint_B (2x + 3y^2 + 4z^3) \, dV, \text{ donde } B = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2, 0 \le z \le 3 \} \)
182. \( \displaystyle \iiint_B (xy + yz + xz) \, dV, \text{ donde } B = \{ (x, y, z) \mid 1 \le x \le 2, 0 \le y \le 2, 1 \le z \le 3 \} \)
183. \( \displaystyle \iiint_B (x \cos y + z) \, dV, \text{ donde } B = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \pi, -1 \le z \le 1 \} \)
184. \( \displaystyle \iiint_B (z \sin x + y^2) \, dV, \text{ donde } B = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le \pi, 0 \le y \le 1, -1 \le z \le 2 \} \)

En los siguientes ejercicios, cambie el orden de integración integrando primero con respecto a \( z \), luego \( x \), y luego \( y \).

185. \( \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \int_{2}^{3} (x^2 + \ln y + z) \, dx \, dy \, dz \)
186. \( \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{3} (ze^x + 2y) \, dz \, dx \, dy \)
187. \( \displaystyle \int_{-1}^{2} \int_{1}^{3} \int_{0}^{4} \left( x^2 z + \frac{1}{y} \right) \, dx \, dy \, dz \)
188. \( \displaystyle \int_{1}^{2} \int_{-2}^{-1} \int_{0}^{1} \frac{x + y}{z} \, dx \, dy \, dz \)

189. Sean \( F \), \( G \) y \( H \) funciones continuas en \( [a, b] \), \( [c, d] \) y \( [e, f] \), respectivamente, donde \( a, b, c, d, e \) y \( f \) son números reales tales que \( a < b \), \( c < d \) y \( e < f \). Demuestre que \[ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{e}^{f} F(x) G(y) H(z) \, dz \, dy \, dx = \left( \int_{a}^{b} F(x) \, dx \right) \left( \int_{c}^{d} G(y) \, dy \right) \left( \int_{e}^{f} H(z) \, dz \right). \]
190. Sean \( F \), \( G \) y \( H \) funciones diferenciables en \( [a, b] \), \( [c, d] \) y \( [e, f] \), respectivamente, donde \( a, b, c, d, e \) y \( f \) son números reales tales que \( a < b \), \( c < d \) y \( e < f \). Demuestre que \[ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{e}^{f} F'(x) G'(y) H'(z) \, dz \, dy \, dx = [F(b) - F(a)] [G(d) - G(c)] [H(f) - H(e)]. \]

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región acotada \( E = \{ (x, y, z) \mid a \le x \le b, h_1(x) \le y \le h_2(x), e \le z \le f \} \).

191. \( \displaystyle \iiint_E (2x + 5y + 7z) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le -x + 1, 1 \le z \le 2 \} \)
192. \( \displaystyle \iiint_E (y \ln x + z) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 1 \le x \le e, 0 \le y \le \ln x, 0 \le z \le 1 \} \)
193. \( \displaystyle \iiint_E (\sin x + \sin y) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le \frac{\pi}{2}, -\cos x \le y \le \cos x, -1 \le z \le 1 \} \)
194. \( \displaystyle \iiint_E (xy + yz + xz) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, -x^2 \le y \le x^2, 0 \le z \le 1 \} \)

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región acotada indicada \( E \).

195. \( \displaystyle \iiint_E (x + 2yz) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x, 0 \le z \le 5 – x – y \} \)
196. \( \displaystyle \iiint_E (x^3 + y^3 + z^3) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 2, 0 \le y \le 2x, 0 \le z \le 4 – x – y \} \)
197. \( \displaystyle \iiint_E y \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid -1 \le x \le 1, -\sqrt{1 – x^2} \le y \le \sqrt{1 – x^2}, 0 \le z \le 1 – x^2 – y^2 \} \)
198. \( \displaystyle \iiint_E x \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid -2 \le x \le 2, -\sqrt{4 – x^2} \le y \le \sqrt{4 – x^2}, 0 \le z \le 4 – x^2 – y^2 \} \)

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región acotada \( E \) de la forma \( E = \{ (x, y, z) \mid g_1(y) \le x \le g_2(y), c \le y \le d, e \le z \le f \} \).

199. \( \displaystyle \iiint_E x^2 \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 1 – y^2 \le x \le y^2 – 1, -1 \le y \le 1, 1 \le z \le 2 \} \)
200. \( \displaystyle \iiint_E (\sin x + y) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid -y^4 \le x \le y^4, 0 \le y \le 2, 0 \le z \le 4 \} \)
201. \( \displaystyle \iiint_E (x – yz) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid -y^6 \le x \le \sqrt{y}, 0 \le y \le 1, -1 \le z \le 1 \} \)
202. \( \displaystyle \iiint_E z \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 2 – 2y \le x \le 2 + \sqrt{y}, 0 \le y \le 1, 2 \le z \le 3 \} \)

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región acotada \( E = \{ (x, y, z) \mid g_1(y) \le x \le g_2(y), c \le y \le d, u_1(x, y) \le z \le u_2(x, y) \} \).

203. \( \displaystyle \iiint_E z \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid -y \le x \le y, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1 – x^4 – y^4 \} \)
204. \( \displaystyle \iiint_E (xz + 1) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le \sqrt{y}, 0 \le y \le 2, 0 \le z \le 1 – x^2 – y^2 \} \)
205. \( \displaystyle \iiint_E (x – z) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid -\sqrt{1 – y^2} \le x \le 0, 0 \le y \le \frac{1}{2}, 0 \le z \le 1 – x^2 – y^2 \} \)
206. \( \displaystyle \iiint_E (x + y) \, dV, \text{ donde } E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le \sqrt{1 – y^2}, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1 – x \} \)

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región acotada \( E = \{ (x, y, z) \mid (x, y) \in D, u_1(x, y) \le z \le u_2(x, y) \} \), donde \( D \) es la proyección de \( E \) sobre el plano \( xy \).

207. \( \displaystyle \iint_D \left( \int_{1}^{2} (x + z) \, dz \right) dA, \text{ donde } D = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 \le 1 \} \)
208. \( \displaystyle \iint_D \left( \int_{1}^{3} x(z + 1) \, dz \right) dA, \text{ donde } D = \{ (x, y) \mid x^2 – y^2 \ge 1, 1 \le x \le \sqrt{5} \} \)
209. \( \displaystyle \iint_D \left( \int_{0}^{10 – x – y} (x + 2z) \, dz \right) dA, \text{ donde } D = \{ (x, y) \mid y \ge 0, x \ge 0, x + y \le 10 \} \)
210. \( \displaystyle \iint_D \left( \int_{0}^{4x^2 + 4y^2} y \, dz \right) dA, \text{ donde } D = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 \le 4, y \ge 1, x \ge 0 \} \)

211. El sólido \( E \) acotado por \( y^2 + z^2 = 9 \), \( z = 0 \), \( x = 0 \) y \( x = 5 \) se muestra en la siguiente figura. Evalúe la integral \[ \iiint_E z \, dV \] integrando primero con respecto a \( z \), luego \( y \), y luego \( x \).

212. El sólido \( E \) acotado por \( y = \sqrt{x} \), \( x = 4 \), \( y = 0 \), \( z = -2 \) y \( z = 1 \) se presenta en la siguiente figura. Evalúe la integral \[ \iiint_E xyz \, dV \] integrando primero con respecto a \( x \), luego \( y \), y luego \( z \).

213. [T] El volumen de un sólido \( E \) viene dado por la integral \( \displaystyle \int_{-2}^{0} \int_{x}^{0} \int_{0}^{x^2 + y^2} dz \, dy \, dx \). Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar \( E \) y encontrar su volumen. Redondee su respuesta a dos decimales.
214. [T] El volumen de un sólido \( E \) viene dado por la integral \( \displaystyle \int_{-1}^{0} \int_{-x^2}^{0} \int_{0}^{1 + \sqrt{x^2 + y^2}} dz \, dy \, dx \). Utilice un CAS para graficar \( E \) y encontrar su volumen \( V \). Redondee su respuesta a dos decimales.

En los siguientes ejercicios, utilice dos permutaciones circulares de las variables \( x, y, \) y \( z \) para escribir nuevas integrales cuyos valores sean iguales al valor de la integral original. Una permutación circular de \( x, y, \) y \( z \) es la disposición de los números en uno de los siguientes órdenes: \( y, z, \) y \( x \) o \( z, x, \) y \( y \).

215. \( \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{1}^{3} \int_{2}^{4} (x^2 z^2 + 1) \, dx \, dy \, dz \)
216. \( \displaystyle \int_{1}^{3} \int_{0}^{1} \int_{0}^{-y+1} (2y + 5z + 7x) \, dz \, dy \, dx \)
217. \( \displaystyle \int_{0}^{1} \int_{-y}^{y} \int_{0}^{1-x^4-y^4} e^x \, dz \, dx \, dy \)
218. \( \displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} \int_{-y^6}^{\sqrt{y}} (x + yz) \, dx \, dy \, dz \)

219. Plantee la integral que da el volumen del sólido \( E \) acotado por \( y^2 = x^2 + z^2 \) y \( y = a \), donde \( a > 0 \) y \( y \ge 0 \).
220. Plantee la integral que da el volumen del sólido \( E \) acotado por \( x = y^2 + z^2 \) y \( x = a^2 \), donde \( a > 0 \).
221. Encuentre el valor promedio de la función \( f(x, y, z) = x + y + z \) sobre el paralelepípedo determinado por \( x = 0, x = 1, y = 0, y = 3, z = 0 \) y \( z = 5 \).
222. Encuentre el valor promedio de la función \( f(x, y, z) = xyz \) sobre el sólido \( E = [0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1] \) situado en el primer octante.
223. Encuentre el volumen del sólido \( E \) que se encuentra debajo del plano \( x + y + z = 9 \) y cuya proyección sobre el plano \( xy \) está acotada por \( x = \sqrt{y – 1}, x = 0 \) y \( x + y = 7 \).
224. Encuentre el volumen del sólido \( E \) que se encuentra debajo del plano \( 2x + y + z = 8 \) y cuya proyección sobre el plano \( xy \) está acotada por \( x = \sin^{-1} y, y = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{2} \).

225. Considere la pirámide con la base en el plano \( xy \) de \( [-2, 2] \times [-2, 2] \) y el vértice en el punto \( (0, 0, 8) \).
     1. Demuestre que las ecuaciones de los planos de las caras laterales de la pirámide son \( 4y + z = 8, 4y – z = -8, 4x + z = 8 \), y \( -4x + z = 8 \).
     2. Encuentre el volumen de la pirámide.
226. Considere la pirámide con la base en el plano \( xy \) de \( [-3, 3] \times [-3, 3] \) y el vértice en el punto \( (0, 0, 9) \).
     1. Demuestre que las ecuaciones de los planos de las caras laterales de la pirámide son \[ 3x + z = 9, -3x + z = 9, -3y + z = 9, \text{ y } 3y + z = 9 \]
     2. Encuentre el volumen de la pirámide.

227. El sólido \( E \) acotado por la esfera de ecuación \( x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \) con \( r > 0 \) y ubicado en el primer octante se representa en la siguiente figura.
     1. Escriba la integral triple que da el volumen de \( E \) integrando primero con respecto a \( z \), luego con \( y \), y luego con \( x \).
     2. Reescriba la integral de la parte a. como una integral equivalente en los otros cinco órdenes.

228. El sólido \( E \) acotado por la ecuación \( 9x^2 + 4y^2 + z^2 = 1 \) y ubicado en el primer octante se representa en la siguiente figura.
     1. Escriba la integral triple que da el volumen de \( E \) integrando primero con respecto a \( z \), luego con \( y \), y luego con \( x \).
     2. Reescriba la integral de la parte a. como una integral equivalente en los otros cinco órdenes.

229. Encuentre el volumen del prisma con vértices \( (0, 0, 0), (2, 0, 0), (2, 3, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 1), \) y \( (2, 0, 1) \).
230. Encuentre el volumen del prisma con vértices \( (0, 0, 0), (4, 0, 0), (4, 6, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 1), \) y \( (4, 0, 1) \).

231. El sólido \( E \) acotado por \( z = 10 – 2x – y \) y situado en el primer octante se muestra en la siguiente figura. Encuentre el volumen del sólido.

232. El sólido \( E \) acotado por \( z = 1 – x^2 \) y \( y = 5 \) y situado en el primer octante se muestra en la siguiente figura. Encuentre el volumen del sólido.

233. La regla del punto medio para la integral triple \( \displaystyle \iiint_B f(x, y, z) \, dV \) sobre una caja sólida rectangular \( B \) es una generalización de la regla del punto medio para integrales dobles. La región \( B \) se divide en subcajas de igual tamaño y la integral se aproxima mediante la suma triple de Riemann \( \displaystyle \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} f(\overline{x}_i, \overline{y}_j, \overline{z}_k) \Delta V \), donde \( (\overline{x}_i, \overline{y}_j, \overline{z}_k) \) es el centro de la caja \( B_{ijk} \) y \( \Delta V \) es el volumen de cada subcaja. Aplique la regla del punto medio para aproximar \( \displaystyle \iiint_B x^2 \, dV \) sobre el sólido \( B = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1 \} \) utilizando una partición de ocho cubos de igual tamaño. Redondee su respuesta a tres decimales.
234. [T]
     1. Aplique la regla del punto medio para aproximar \( \displaystyle \iiint_B e^{-x^2} \, dV \) sobre el sólido \( B = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1 \} \) utilizando una partición de ocho cubos de igual tamaño. Redondee su respuesta a tres decimales.
     2. Utilice un CAS para mejorar la aproximación de la integral anterior en el caso de una partición de \( n^3 \) cubos de igual tamaño, donde \( n = 3, 4, \dots, 10 \).
235. Suponga que la temperatura en grados Celsius en un punto \( (x, y, z) \) de un sólido \( E \) acotado por los planos coordenados y \( x + y + z = 5 \) es \( T(x, y, z) = xz + 5z + 10 \). Encuentre la temperatura promedio sobre el sólido.
236. Suponga que la temperatura en grados Fahrenheit en un punto \( (x, y, z) \) de un sólido \( E \) acotado por los planos coordenados y \( x + y + z = 5 \) es \( T(x, y, z) = x + y + xy \). Encuentre la temperatura promedio sobre el sólido.

237. Demuestre que el volumen de una pirámide cuadrangular recta de altura \( h \) y longitud de lado \( a \) es \( v = \frac{ha^2}{3} \) mediante el uso de integrales triples.
238. Demuestre que el volumen de un prisma hexagonal recto regular de longitud de arista \( a \) es \( \frac{3a^3 \sqrt{3}}{2} \) mediante el uso de integrales triples.
239. Demuestre que el volumen de una pirámide hexagonal recta regular de longitud de arista \( a \) es \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{2} \) mediante el uso de integrales triples.
240. Si la densidad de carga en un punto arbitrario \( (x, y, z) \) de un sólido \( E \) viene dada por la función \( \rho(x, y, z) \), entonces la carga total dentro del sólido se define como la integral triple \( \displaystyle \iiint_E \rho(x, y, z) \, dV \). Suponga que la densidad de carga del sólido \( E \) encerrado por los paraboloides \( x = 5 – y^2 – z^2 \) y \( x = y^2 + z^2 – 5 \) es igual a la distancia desde un punto arbitrario de \( E \) al origen. Plantee la integral que da la carga total dentro del sólido \( E \).