| 12. Integración múltiple | Ejercicios propuestos para el Capítulo 12.4 |
12.4 Integrales triples
Objetivos de aprendizaje
12.4.1 Reconocer cuándo una función de tres variables es integrable sobre una caja rectangular.
12.4.2 Evaluar una integral triple expresándola como una integral iterada.
12.4.3 Reconocer cuándo una función de tres variables es integrable sobre una región cerrada y acotada.
12.4.4 Simplificar un cálculo cambiando el orden de integración de una integral triple.
12.4.5 Calcular el valor promedio de una función de tres variables.
En Integrales dobles sobre regiones rectangulares, estudiamos la integral doble de una función $f(x,y)$ de dos variables sobre una región rectangular en el plano. En esta sección definimos la integral triple de una función $f(x,y,z)$ de tres variables sobre un sólido rectangular en el espacio, $\mathbb{R}^3$. Más adelante en esta sección extendemos la definición a regiones más generales en $\mathbb{R}^3$.
Funciones Integrables de Tres Variables
Podemos definir una caja rectangular $B$ en $\mathbb{R}^3$ como $B=\{(x,y,z)\mid a\le x\le b,\ c\le y\le d,\ e\le z\le f\}$. Seguimos un procedimiento similar al que usamos en Integrales Dobles sobre Regiones Rectangulares. Dividimos el intervalo $[a,b]$ en $l$ subintervalos $[x_{i-1},x_i]$ de igual longitud $\Delta x=\frac{b-a}{l}$, dividimos el intervalo $[c,d]$ en $m$ subintervalos $[y_{j-1},y_j]$ de igual longitud $\Delta y=\frac{d-c}{m}$ y dividimos el intervalo $[e,f]$ en $n$ subintervalos $[z_{k-1},z_k]$ de igual longitud $\Delta z=\frac{f-e}{n}$. Entonces, la caja rectangular $B$ se subdivide en $lmn$ subcajas $B_{ijk}=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]\times[z_{k-1},z_k]$, como se muestra en la Figura 12.4.1.
Para cada \(i, j,\) y \(k\), considere un punto de muestra \((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\) en cada sub-caja \(B_{ijk}\). Vemos que su volumen es \(\Delta V = \Delta x \Delta y \Delta z\). Forme la suma de Riemann triple:
\[ \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \Delta x \Delta y \Delta z \]
Definimos la integral triple en términos del límite de una suma de Riemann triple, tal como lo hicimos para la integral doble en términos de una suma de Riemann doble.
Definición
La integral triple de una función \(f(x, y, z)\) sobre una caja rectangular \(B\) se define como:
\[ \lim_{l,m,n \to \infty} \sum_{i=1}^{l} \sum_{j=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \Delta x \Delta y \Delta z = \iiint\limits_{B} f(x, y, z) \, dV \tag{12.4.1}\]
si este límite existe. ♦
Cuando la integral triple existe sobre $B$, se dice que la función $f(x,y,z)$ es integrable en $B$. Además, la integral triple existe si $f(x,y,z)$ es continua en $B$. Por lo tanto, usaremos funciones continuas en nuestros ejemplos. Sin embargo, la continuidad es suficiente pero no necesaria; es decir, $f$ está acotada en $B$ y es continua excepto posiblemente en la frontera de $B$. El punto de muestreo $(x^*_{ijk},y^*_{ijk},z^*_{ijk})$ puede ser cualquier punto en la subcaja rectangular $B_{ijk}$ y todas las propiedades de una integral doble se aplican a una integral triple. Así como la integral doble tiene muchas aplicaciones prácticas, la integral triple también tiene muchas aplicaciones, las cuales se discuten en secciones posteriores.
Ahora que hemos desarrollado el concepto de la integral triple, necesitamos saber cómo calcularla. Al igual que en el caso de la integral doble, podemos tener una integral triple iterada y, en consecuencia, existe una versión del teorema de Fubini para integrales triples.
Teorema 12.4.1. Teorema de Fubini para Integrales Triples
Si \( f(x, y, z) \) es continua en una caja rectangular \( B = [a, b] \times [c, d] \times [e, f] \), entonces:
\[ \iiint\limits_{B} f(x, y, z) \, dV = \int_{e}^{f} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz \]
Esta integral también es igual a cualquiera de los otros cinco órdenes posibles para la integral triple iterada. ♦
Para los números reales \(a, b, c, d, e,\) y \(f\), la integral triple iterada puede expresarse en seis órdenes diferentes:
Para una caja rectangular, el orden de integración no representa ninguna diferencia significativa en el nivel de dificultad del cálculo. Calculamos las integrales triples utilizando el Teorema de Fubini en lugar de usar la definición de la suma de Riemann. Seguimos el orden de integración de la misma manera que lo hicimos para las integrales dobles (es decir, de adentro hacia afuera).
Ejemplo ilustrativo 12.4.1. Evaluación de una Integral Triple
Evalúe la integral triple:
\[ \int_{z=0}^{z=1} \int_{y=2}^{y=4} \int_{x=-1}^{x=5} (x + yz^2) \, dx \, dy \, dz \]
Solución:
El orden de integración está especificado en el problema, así que integre con respecto a \(x\) primero, luego \(y\), y finalmente \(z\).
♦
Ejemplo ilustrativo 12.4.2. Evaluación de una Integral Triple
Evalúe la integral triple \(\iiint\limits_{B} x^2yz \, dV\) donde
\( B = \{ (x, y, z) \mid -2 \le x \le 1, 0 \le y \le 3, 1 \le z \le 5 \} \)
como se muestra en la siguiente figura.
Solución:
El orden no está especificado, pero podemos usar la integral iterada en cualquier orden sin cambiar el nivel de dificultad. Elija, por ejemplo, integrar con respecto a \(y\) primero, luego \(x\), y finalmente \(z\).
Ahora intente integrar en un orden diferente solo para ver que obtenemos la misma respuesta. Elija integrar con respecto a \(x\) primero, luego \(z\), y finalmente \(y\).
♦
Ejercicio de control 12.4.1
Evalúe la integral triple \(\iiint\limits_{B} z \operatorname{sen} x \cos y \, dV\) donde
\[ B = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le \pi, \tfrac{3\pi}{2} \le y \le 2\pi, 1 \le z \le 3 \} \]
♦Integrales Triples sobre una Región General Acotada
Ahora expandimos la definición de la integral triple para calcular una integral triple sobre una región acotada más general \( E \) en \( \mathbb{R}^3 \). Las regiones acotadas generales que consideraremos son de tres tipos. Primero, sea \( D \) la región acotada que es una proyección de \( E \) sobre el plano \( xy \). Suponga que la región \( E \) en \( \mathbb{R}^3 \) tiene la forma:
\[ E = \{ (x, y, z) \mid (x, y) \in D, u_1(x, y) \le z \le u_2(x, y) \} \]
para dos funciones \( z = u_1(x, y) \) y \( z = u_2(x, y) \), tales que \( u_1(x, y) \le u_2(x, y) \) para todo \( (x, y) \) en \( D \), como se muestra en la siguiente figura.
Figura 12.4.3 Podemos describir la región $E$ como el espacio comprendido entre $u_1(x,y)$ y $u_2(x,y)$, situado sobre la proyección $D$ de $E$ sobre el plano $xy$.
Teorema 12.4.2. Integral Triple sobre una Región General
La integral triple de una función continua \( f(x, y, z) \) sobre una región general tridimensional
\[ E = \{ (x, y, z) \mid (x, y) \in D, u_1(x, y) \le z \le u_2(x, y) \} \]
en \( \mathbb{R}^3 \), donde \( D \) es la proyección de \( E \) sobre el plano \( xy \), es:
♦
De manera similar, podemos considerar una región acotada general \( D \) en el plano \( xz \) y dos funciones \( y = u_1(x, z) \) y \( y = u_2(x, z) \) tales que \( u_1(x, z) \le u_2(x, z) \) para todo \( (x, z) \) en \( D \). Entonces podemos describir la región sólida \( E \) en \( \mathbb{R}^3 \) como:
\[ E = \{ (x, y, z) \mid (x, z) \in D, u_1(x, z) \le y \le u_2(x, z) \} \]
donde \( D \) es la proyección de \( E \) sobre el plano \( xz \) y la integral triple es:
\[ \iiint\limits_{E} f(x, y, z) \, dV = \iint\limits_{D} \left[ \int_{u_1(x, z)}^{u_2(x, z)} f(x, y, z) \, dy \right] dA \]
Finalmente, si \( D \) es una región acotada general en el plano \( yz \) y tenemos dos funciones \( x = u_1(y, z) \) y \( x = u_2(y, z) \) tales que \( u_1(y, z) \le u_2(y, z) \) para todo \( (y, z) \) en \( D \), entonces la región sólida \( E \) en \( \mathbb{R}^3 \) puede describirse como:
\[ E = \{ (x, y, z) \mid (y, z) \in D, u_1(y, z) \le x \le u_2(y, z) \} \]
donde \( D \) es la proyección de \( E \) sobre el plano \( yz \) y la integral triple es:
\[ \iiint\limits_{E} f(x, y, z) \, dV = \iint\limits_{D} \left[ \int_{u_1(y, z)}^{u_2(y, z)} f(x, y, z) \, dx \right] dA \]
Note que la región \( D \) en cualquiera de los planos puede ser de Tipo I o Tipo II tal como se decribió en Integrales dobles sobre regiones generales . Si \( D \) en el plano \( xy \) es de Tipo I, entonces:
\[ E = \{ (x, y, z) \mid a \le x \le b, g_1(x) \le y \le g_2(x), u_1(x, y) \le z \le u_2(x, y) \} \]
Entonces la integral triple se convierte en:
Si \( D \) en el plano \( xy \) es de Tipo II, entonces:
Entonces la integral triple se convierte en:
Ejemplo ilustrativo 12.4.3. Evaluando una Integral Triple sobre una Región Acotada General
Evalúe la integral triple de la función $f(x,y,z) = 5x – 3y$ sobre el tetraedro sólido limitado por los planos $x=0$, $y=0$, $z=0$ y $x + y + z = 1$.
Solución:
La Figura 14.4.6 muestra el tetraedro sólido $E$ y su proyección $D$ sobre el plano $xy$.
Podemos describir la región sólida del tetraedro como:
\[ E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 – x, 0 \le z \le 1 – x – y \} \]
Por lo tanto, la integral triple es:
Para simplificar el cálculo, primero evalúe la integral \(\int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x – 3y) \, dz\). Tenemos:
\[ \int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x – 3y) \, dz = (5x – 3y)(1 – x – y) \]
Ahora evalúe la integral \(\int_{y=0}^{y=1-x} (5x – 3y)(1 – x – y) \, dy\), obteniendo:
\[ \int_{y=0}^{y=1-x} (5x – 3y)(1 – x – y) \, dy = \frac{1}{2}(x – 1)^2(6x – 1) \]
Finalmente, evalúe:
\[ \int_{x=0}^{x=1} \frac{1}{2}(x – 1)^2(6x – 1) \, dx = \frac{1}{12} \]
Poniéndolo todo junto, tenemos:
♦
Así como usamos la integral doble \(\iint\limits_{D} 1 \, dA\) para encontrar el área de una región acotada general \(D\), podemos usar
\[ \iiint\limits_{E} 1 \, dV \]
para encontrar el volumen de una región acotada sólida general \(E\). El siguiente ejemplo ilustra el método.
Ejemplo ilustrativo 12.4.4. Encontrando un Volumen al Evaluar una Integral Triple
Encuentre el volumen de una pirámide recta que tiene como base cuadrada en el plano $xy$ el cuadrado $[-1,1]\times[-1,1]$ y vértice en el punto $(0,0,1)$, como se muestra en la figura siguiente.
Solución:
En esta pirámide, el valor de \(z\) cambia de \(0\) a \(1\), y en cada altura \(z\), la sección transversal de la pirámide para cualquier valor de \(z\) es el cuadrado \([-1 + z, 1 – z] \times [-1 + z, 1 – z]\). Por lo tanto, el volumen de la pirámide es \(\iiint\limits_{E} 1 \, dV\) donde
\[ E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le z \le 1, -1 + z \le y \le 1 – z, -1 + z \le x \le 1 – z \} \]
De este modo, tenemos:
Por lo tanto, el volumen de la pirámide es \(\frac{4}{3}\) unidades cúbicas. ♦
Ejercicio de control 12.4.2
Considere la esfera sólida $E = \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 9\}$. Escriba la integral triple $$ \iiint_E f(x,y,z)\, dV $$ para una función arbitraria $f$ como una integral iterada. Luego, evalúe esta integral triple con $f(x,y,z) = 1$. Observe que esto da el volumen de una esfera usando una integral triple. ♦
Cambiando el Orden de Integración
Como ya hemos visto en integrales dobles sobre regiones acotadas generales, cambiar el orden de la integración se realiza con bastante frecuencia para simplificar el cálculo. Con una integral triple sobre una caja rectangular, el orden de integración no altera el nivel de dificultad del cálculo. Sin embargo, con una integral triple sobre una región acotada general, elegir un orden de integración adecuado puede simplificar considerablemente el cálculo. A veces, cambiar a coordenadas polares también puede ser muy útil. Aquí presentamos dos ejemplos.
Ejemplo ilustrativo 12.4.5. Cambiando el Orden de Integración
Considere la integral iterada:
El orden de integración aquí es primero con respecto a \(z\), luego \(y\), y finalmente \(x\). Exprese esta integral cambiando el orden de integración para que sea primero con respecto a \(x\), luego \(z\), y después \(y\). Verifique que el valor de la integral es el mismo si definimos \(f(x, y, z) = xyz\).
Solución:
La mejor manera de hacer esto es esbozar la región \( E \) y sus proyecciones sobre cada uno de los tres planos coordenados. Así, sea
\[ E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^2, 0 \le z \le y^2 \} \]
y
Necesitamos expresar esta integral triple como:
Conociendo la región \( E \), podemos dibujar las siguientes proyecciones:
- En el plano \( xy \) es \( D_1 = \{ (x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^2 \} = \{ (x, y) \mid 0 \le y \le 1, \sqrt{y} \le x \le 1 \}, \)
- en el plano \( yz \) es \( D_2 = \{ (y, z) \mid 0 \le y \le 1, 0 \le z \le y^2 \}, \) y
- en el plano \( xz \) es \( D_3 = \{ (x, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le z \le x^4 \}. \)
Ahora podemos describir la misma región \( E \) como \( \{ (x, y, z) \mid 0 \le y \le 1, 0 \le z \le y^2, \sqrt{y} \le x \le 1 \} \), y consecuentemente, la integral triple se convierte en:
Ahora suponga que \( f(x, y, z) = xyz \) en cada una de las integrales. Entonces tenemos:
Las respuestas coinciden. ♦
Ejercicio de control 12.4.3
Escriba cinco integrales iteradas diferentes que sean iguales a la integral dada:
♦
Ejemplo ilustrativo 12.4.6. Cambiando el Orden de Integración y los Sistemas de Coordenadas
Evalúe la integral triple \(\iiint\limits_{E} \sqrt{x^2 + z^2} \, dV\), donde \( E \) es la región acotada por el paraboloide \( y = x^2 + z^2 \) y el plano \( y = 4 \).
Solución:
La proyección de la región sólida $E$ sobre el plano $xy$ es la región limitada superiormente por $y=4$ e inferiormente por la parábola $y=x^2$, como se muestra.
De este modo, tenemos:
\[ E = \{ (x, y, z) \mid -2 \le x \le 2, x^2 \le y \le 4, -\sqrt{y – x^2} \le z \le \sqrt{y – x^2} \}. \]
La integral triple se convierte en:
Esta expresión es difícil de calcular, por lo que consideramos la proyección de \( E \) sobre el plano \( xz \). Esta es un disco circular \( x^2 + z^2 \le 4 \). Así obtenemos:
Aquí el orden de integración cambia de ser primero con respecto a \( z \), luego \( y \), y luego \( x \), a ser primero con respecto a \( y \), luego \( z \), y luego \( x \). Pronto quedará claro cómo este cambio puede ser beneficioso para el cálculo. Tenemos:
Ahora use la sustitución polar \( x = r \cos \theta \), \( z = r \operatorname{sen} \theta \), y \( dz \, dx = r \, dr \, d\theta \) en el plano \( xz \). Esto es esencialmente lo mismo que cuando usamos coordenadas polares en el plano \( xy \), excepto que estamos reemplazando \( y \) por \( z \). Consecuentemente, los límites de integración cambian y tenemos, usando \( r^2 = x^2 + z^2 \):
♦
Valor Promedio de una Función de Tres Variables
Recordemos que encontramos el valor promedio de una función de dos variables evaluando la integral doble sobre una región del plano y luego dividiendo entre el área de la región. De manera similar, podemos hallar el valor promedio de una función de tres variables evaluando la integral triple sobre una región sólida y luego dividiendo entre el volumen del sólido.
Teorema 12.4.3. Valor Promedio de una Función de Tres Variables
Si \( f(x, y, z) \) es integrable sobre una región acotada sólida \( E \) con volumen positivo \( V(E) \), entonces el valor promedio de la función es:
\[ f_{\text{ave}} = \frac{1}{V(E)} \iiint\limits_{E} f(x, y, z) \, dV. \]
Note que el volumen es \( V(E) = \iiint\limits_{E} 1 \, dV. \)
♦
Ejemplo ilustrativo 12.4.7. Encontrando una Temperatura Promedio
La temperatura en un punto $(x,y,z)$ de un sólido $E$ limitado por los planos coordenados y el plano $x+y+z=1$ es $T(x,y,z)=(xy+8z+20)\,^\circ\text{C}$. Halle la temperatura promedio sobre el sólido.
Solución:
Use el teorema dado anteriormente y la integral triple para encontrar el numerador y el denominador. Luego realice la división. Note que el plano \( x + y + z = 1 \) tiene intersecciones en \( (1, 0, 0) \), \( (0, 1, 0) \) y \( (0, 0, 1) \). La región \( E \) se define como:
\[ E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 – x, 0 \le z \le 1 – x – y \}. \]
Por lo tanto, la integral triple de la temperatura es:
La evaluación del volumen es:
De este modo, el valor promedio es:
\[ T_{\text{ave}} = \frac{147/40}{1/6} = \frac{6(147)}{40} = \frac{441}{20} \text{ grados Celsius.} \]
♦Ejercicio de control 12.4.4
Halle el valor promedio de la función $f(x,y,z)=xyz$ sobre el cubo con aristas de longitud $4$ unidades en el primer octante, con un vértice en el origen y aristas paralelas a los ejes coordenados. ♦