| 10.19 El teorema de la divergencia |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.19

Para los siguientes ejercicios, use un sistema algebraico computacional (CAS) y el teorema de la divergencia para evaluar la integral de superficie \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, ds\) para la opción dada de \(\mathbf{F}\) y la superficie de frontera \(S\). Para cada superficie cerrada, asuma que \(\mathbf{N}\) es el vector normal unitario hacia afuera.

376. \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\); \(S\) es la superficie del cubo \(0 \leq x \leq 1\), \(0 \leq y \leq 1\), \(0 \leq z \leq 1\).
377. \(\mathbf{F}(x, y, z) = (\cos yz)\mathbf{i} + e^{xz}\mathbf{j} + 3z^2\mathbf{k}\); \(S\) es la superficie del hemisferio \(z = \sqrt{4 – x^2 – y^2}\) junto con el disco \(x^2 + y^2 \leq 4\) en el plano xy.
378. \(\mathbf{F}(x, y, z) = (x^2 + y^2 – x^2)\mathbf{i} + x^2 y\mathbf{j} + 3z\mathbf{k}\); \(S\) es la superficie del cubo unitario \(0 \leq x \leq 1\), \(0 \leq y \leq 1\), \(0 \leq z \leq 1\) excluyendo la cara \(z = 0\).
379. \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\); \(S\) es la superficie del sólido delimitado por la parábola \(z = x^2 + y^2\) y el plano \(z = 9\).
380. \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^2\mathbf{i} + y^2\mathbf{j} + z^2\mathbf{k}\); \(S\) es la superficie de la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\).
381. \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + (z^2 – 1)\mathbf{k}\); \(S\) es la superficie del sólido delimitado por el cilindro \(x^2 + y^2 = 4\) y los planos \(z = 0\) y \(z = 1\).
382. \(\mathbf{F}(x, y, z) = xy^2\mathbf{i} + yz^2\mathbf{j} + x^2 z\mathbf{k}\); \(S\) es la superficie del sólido delimitado arriba por la esfera \(\rho = 2\) y abajo por el cono \(\varphi = \frac{\pi}{4}\) en coordenadas esféricas. (Piense en \(S\) como la superficie de un “cono de helado”).
383. \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^3\mathbf{i} + y^3\mathbf{j} + 3a^2 z\mathbf{k}\) (constante \(a > 0\)); \(S\) es la superficie del sólido delimitado por el cilindro \(x^2 + y^2 = a^2\) y los planos \(z = 0\) y \(z = 1\).
384. Integral de superficie \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(S\) es la superficie del sólido delimitado por el paraboloide \(z = x^2 + y^2\) y el plano \(z = 4\), y \(\mathbf{F}(x, y, z) = (x + y^2 z^2)\mathbf{i} + (y + z^2 x^2)\mathbf{j} + (z + x^2 y^2)\mathbf{k}\).

385. Use el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = (e^{y^2})\mathbf{i} + (y + \sin(z^2))\mathbf{j} + (z – 1)\mathbf{k}\) y \(S\) es la superficie del sólido delimitado por la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\), y abajo por el plano \(z = 0\).
386. Use el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^4\mathbf{i} – x^3 z^2\mathbf{j} + 4xy^2 z\mathbf{k}\) y \(S\) es la superficie delimitada por el cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) y los planos \(z = x + 2\) y \(z = 0\).
387. Use el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) cuando \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^2 z^3\mathbf{i} + 2xyz^3\mathbf{j} + xz^4\mathbf{k}\) y \(S\) es la superficie de la caja con vértices \((\pm 1, \pm 2, \pm 3)\).
388. Use el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) cuando \(\mathbf{F}(x, y, z) = z \arctan^{-1}(y^2)\mathbf{i} + z^3 \ln(x^2 + 1)\mathbf{j} + z\mathbf{k}\) y \(S\) es la superficie del sólido delimitado por el paraboloide \(x^2 + y^2 + z = 2\) y el plano \(z = 1\).
389. [T] Use un CAS y el teorema de la divergencia para calcular el flujo \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = (x^3 + y^3)\mathbf{i} + (y^3 + z^3)\mathbf{j} + (z^3 + x^3)\mathbf{k}\) y \(S\) es una esfera con centro \((0, 0, 0)\) y radio 2.
390. Use el teorema de la divergencia para calcular el valor de la integral de flujo \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = (y^3 + 3x)\mathbf{i} + (xz + y)\mathbf{j} + [z + x^4 \cos(x^2 y)]\mathbf{k}\) y \(S\) es la superficie del sólido delimitado por \(x^2 + y^2 = 1\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\), y \(0 \leq z \leq 1\).

391. Use el teorema de la divergencia para calcular la integral de flujo \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{j} – z\mathbf{k}\) y \(S\) consiste en la unión del paraboloide \(y = x^2 + z^2\), \(0 \leq y \leq 1\), y el disco \(x^2 + z^2 \leq 1\), \(y = 1\), orientado hacia afuera. ¿Cuál es el flujo solo a través del paraboloide?
392. Use el teorema de la divergencia para calcular la integral de flujo \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z^4\mathbf{k}\) y \(S\) es una parte del cono \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) debajo del plano superior \(z = 1\), orientado hacia abajo.
393. Use el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) para \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^4\mathbf{i} – x^3 z^2\mathbf{j} + 4xy^2 z\mathbf{k}\), donde \(S\) es la superficie dentro del cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) entre los planos \(z = x + 2\) y \(z = 0\).
394. Considere \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^2\mathbf{i} + xy\mathbf{j} + (z + 1)\mathbf{k}\). Sea \(E\) el sólido encerrado por el paraboloide \(z = 4 – x^2 – y^2\) y el plano \(z = 0\) con vectores normales apuntando hacia afuera de \(E\). Calcule el flujo de \(\mathbf{F}\) a través de la frontera de \(E\) usando el teorema de la divergencia.

Para los siguientes ejercicios, use un CAS junto con el teorema de la divergencia para calcular el flujo neto hacia afuera para los campos a través de las superficies dadas \(S\).

395. [T] \(\mathbf{F} = \langle x, -2y, 3z \rangle\); \(S\) es la esfera \(\{(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 6\}\).
396. [T] \(\mathbf{F} = \langle x, 2y, z \rangle\); \(S\) es la frontera del tetraedro en el primer octante formado por el plano \(x + y + z = 1\).
397. [T] \(\mathbf{F} = \langle y – 2x, x^3 – y, y^2 – z \rangle\); \(S\) es la esfera \(\{(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 4\}\).
398. [T] \(\mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle\); \(S\) es la superficie del paraboloide \(z = 4 – x^2 – y^2\), para \(z \geq 0\), más su base en el plano xy.

Para los siguientes ejercicios, use un CAS junto con el teorema de la divergencia para calcular el flujo neto hacia afuera para los campos vectoriales a través de la frontera de las regiones dadas \(D\).

399. [T] \(\mathbf{F} = \langle z – x, x – y, 2y – z \rangle\); \(D\) es la región entre esferas de radio 2 y 4 centradas en el origen.
400. [T] \(\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{||\mathbf{r}||} = \frac{\langle x, y, z \rangle}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\); \(D\) es la región entre esferas de radio 1 y 2 centradas en el origen.
401. [T] \(\mathbf{F} = \langle x^2, -y^2, z^2 \rangle\); \(D\) es la región en el primer octante entre los planos \(z = 4 – x – y\) y \(z = 2 – x – y\).
402. Sea \(\mathbf{F}(x, y, z) = 2x\mathbf{i} – 3xy\mathbf{j} + xz^2\mathbf{k}\). Use el teorema de la divergencia para calcular \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(S\) es la superficie del cubo con esquinas en \((0, 0, 0)\), \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\), \((0, 0, 1)\), \((1, 0, 1)\), \((0, 1, 1)\), y \((1, 1, 1)\), orientada hacia afuera.
403. Use el teorema de la divergencia para encontrar el flujo hacia afuera del campo \(\mathbf{F}(x, y, z) = (x^3 – 3y)\mathbf{i} + (2yz + 1)\mathbf{j} + xyz\mathbf{k}\) a través del cubo delimitado por los planos \(x = \pm 1\), \(y = \pm 1\), y \(z = \pm 1\).
404. Sea \(\mathbf{F}(x, y, z) = 2x\mathbf{i} – 3y\mathbf{j} + 5z\mathbf{k}\) y sea \(S\) el hemisferio \(z = \sqrt{9 – x^2 – y^2}\) junto con el disco \(x^2 + y^2 \leq 9\) en el plano xy. Use el teorema de la divergencia.
405. Evalúe \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^2\mathbf{i} + xy\mathbf{j} + x^3 y^3\mathbf{k}\) y \(S\) es la superficie que consiste en todas las caras del tetraedro delimitado por el plano \(x + y + z = 1\) y los planos coordenados, con vector normal unitario hacia afuera \(\mathbf{N}\).

406. Encuentre el flujo neto hacia afuera del campo \(\mathbf{F} = \langle bz – cy, cx – az, ay – bx \rangle\) a través de cualquier superficie cerrada suave en \(\mathbb{R}^3\), donde \(a\), \(b\), y \(c\) son constantes.
407. Use el teorema de la divergencia para evaluar \(\displaystyle \iint_S ||\mathbf{R}|| \, \mathbf{R} \cdot \mathbf{n} \, dS\), donde \(\mathbf{R}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\) y \(S\) es la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\), con constante \(a > 0\).
408. Use el teorema de la divergencia para evaluar \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = y^2 z\mathbf{i} + y^3\mathbf{j} + xz\mathbf{k}\) y \(S\) es la frontera del cubo definido por \(-1 \leq x \leq 1\), \(-1 \leq y \leq 1\), y \(0 \leq z \leq 2\).
409. Sea \(R\) la región definida por \(x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\). Use el teorema de la divergencia para encontrar \(\displaystyle \iiint_R z^2 \, dV\).
410. Sea \(E\) el sólido delimitado por el plano xy y el paraboloide \(z = 4 – x^2 – y^2\) de modo que \(S\) sea la superficie de la pieza paraboloide junto con el disco en el plano xy que forma su base. Si \(\mathbf{F}(x, y, z) = (xz \sin(yz) + x^3)\mathbf{i} + \cos(yz)\mathbf{j} + (3zy^2 – e^{x^2 + y^2})\mathbf{k}\), encuentre \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) usando el teorema de la divergencia.

411. Sea \(E\) el cubo unitario sólido con esquinas diagonalmente opuestas en el origen y \((1, 1, 1)\), y caras paralelas a los planos coordenados. Sea \(S\) la superficie de \(E\), orientada con la normal apuntando hacia afuera. Use un CAS para encontrar \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) usando el teorema de la divergencia si \(\mathbf{F}(x, y, z) = 2xy\mathbf{i} + 3ye^z\mathbf{j} + x \sin z\mathbf{k}\).
412. Use el teorema de la divergencia para calcular el flujo de \(\mathbf{F}(x, y, z) = x^3\mathbf{i} + y^3\mathbf{j} + z^3\mathbf{k}\) a través de la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\).
413. Encuentre \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\) y \(S\) es la superficie orientada hacia afuera obtenida al eliminar el cubo \([1, 2] \times [1, 2] \times [1, 2]\) del cubo \([0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]\).
414. Considere el campo vectorial radial \(\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{||\mathbf{r}||} = \frac{\langle x, y, z \rangle}{(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}}\). Calcule la integral de superficie, donde \(S\) es la superficie de una esfera de radio a centrada en el origen.
415. Calcule el flujo de agua a través del cilindro parabólico \(S: y = x^2\), de \(0 \leq x \leq 2\), \(0 \leq z \leq 3\), si el vector de velocidad es \(\mathbf{F}(x, y, z) = 3z^2\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 6xz\mathbf{k}\).
416. [T] Use un CAS para encontrar el flujo del campo vectorial \(\mathbf{F}(x, y, z) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \sqrt{x^2 + y^2}\mathbf{k}\) a través de la porción del hiperboloide \(x^2 + y^2 = z^2 + 1\) entre los planos \(z = 0\) y \(z = \frac{\sqrt{3}}{3}\), orientado de modo que el vector normal unitario apunte alejándose del eje z.
417. [T] Use un CAS para encontrar el flujo del campo vectorial \(\mathbf{F}(x, y, z) = (e^y + x)\mathbf{i} + (3 \cos(xz) – y)\mathbf{j} + z\mathbf{k}\) a través de la superficie \(S\), donde \(S\) está dada por \(z^2 = 4x^2 + 4y^2\) de \(0 \leq z \leq 4\), orientada de modo que el vector normal unitario apunte hacia abajo.
418. [T] Use un CAS para calcular \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}\) y \(S\) es una parte de la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 2\) con \(0 \leq z \leq 1\).

419. Evalúe \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = bxy^2\mathbf{i} + bx^2 y\mathbf{j} + (x^2 + y^2) z^2\mathbf{k}\) y \(S\) es la frontera del cilindro sólido \(x^2 + y^2 \leq a^2\) y \(0 \leq z \leq b\).
420. [T] Use un CAS para calcular el flujo de \(\mathbf{F}(x, y, z) = (x^3 + y \sin z)\mathbf{i} + (y^3 + z \sin x)\mathbf{j} + 3z\mathbf{k}\) a través de la superficie \(S\), donde \(S\) es la frontera del sólido delimitado por los hemisferios \(z = \sqrt{4 – x^2 – y^2}\) y \(z = \sqrt{1 – x^2 – y^2}\), y el plano \(z = 0\).
421. Use el teorema de la divergencia para evaluar \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = xy\mathbf{i} – \frac{1}{2}y^2\mathbf{j} + z\mathbf{k}\) y \(S\) es la superficie que consiste en tres piezas: \(z = 4 – 3x^2 – 3y^2\), \(1 \leq z \leq 4\) en la parte superior; \(x^2 + y^2 = 1\), \(0 \leq z \leq 1\) en los lados; y \(z = 0\) en la parte inferior.
422. [T] Use un CAS y el teorema de la divergencia para evaluar \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = (2x + y \cos z)\mathbf{i} + (x^2 – y)\mathbf{j} + y^2 z\mathbf{k}\) y \(S\) es la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\) orientada hacia afuera.
423. Use el teorema de la divergencia para evaluar \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\) y \(S\) es la frontera del sólido encerrado por el paraboloide \(y = x^2 + z^2 – 2\), el cilindro \(x^2 + z^2 = 1\), y el plano \(x + y = 2\), y \(S\) está orientada hacia afuera.

Para los siguientes ejercicios, la ley de Fourier de la transferencia de calor establece que el vector de flujo de calor \(\mathbf{F}\) en un punto es proporcional al gradiente negativo de la temperatura; es decir, \(\mathbf{F} = -k\nabla T\), lo que significa que la energía térmica fluye desde las regiones calientes hacia las regiones frías. La constante \(k > 0\) se llama la conductividad, que tiene unidades métricas de julios por metro por segundo-kelvin o vatios por metro-kelvin. Se da una función de temperatura para la región \(D\). Use el teorema de la divergencia para encontrar el flujo neto de calor hacia afuera \(\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS = -k \iint_S \nabla T \cdot \mathbf{N} \, dS\) a través de la frontera \(S\) de \(D\), donde \(k = 1\).

424. \(T(x, y, z) = 100 + x + 2y + z\); \(D = \{(x, y, z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1\}\)
425. \(T(x, y, z) = 100 + e^{-z}\); \(D = \{(x, y, z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1\}\)
426. \(T(x, y, z) = 100e^{-x^2 – y^2 – z^2}\); \(D\) es la esfera de radio a centrada en el origen.