Álgebra lineal con aplicaciones

(2. Álgebra de matrices)

Transposición de una matriz

      Muchos resultados sobre una matriz A involucran las filas de A, y el resultado correspondiente para las columnas se deriva de una manera análoga, esencialmente reemplazando la palabra fila por la palabra columna en todas partes. La siguiente definición se hace teniendo en cuenta tales aplicaciones.

Definición 2.3. Transposición de una matriz

Si A es una matriz de tamaño m × n, la transpuesta de A, escrita AT, es la matriz de tamaño n × m cuyas filas son solo las columnas de A en el mismo orden.

En otras palabras, la primera fila de AT es la primera columna de A (es decir, consta de las entradas de la columna 1 en orden). De manera similar, la segunda fila de AT es la segunda columna de A, y así sucesivamente.

Ejemplo ilustrativo 2.1_9

Escriba la transpuesta de cada una de las siguientes matrices.

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Solución:

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      Si A = aij es una matriz, escriba AT = bij. Entonces bij es el j-ésimo elemento de la i-ésima fila de AT y también lo es el j-ésimo elemento de la i-ésima columna de A. Esto significa bij = aji, por lo que la definición de AT se puede establecer de la siguiente manera:

Si A = aij, entonces AT = aji.              (2.1)

Esto es útil para verificar las siguientes propiedades de transposición.

Teorema 2.1.2

Suponga que A y B denotan matrices del mismo tamaño, y k denota una escalar. Entonces

1.  Si A es una matriz m × n, entonces AT es una matriz n × m.
2.  (AT)T = A.
3.  (kA)T = kAT.
4.  (A + B)T = AT + BT

Prueba. La propiedad 1 es parte de la definición de AT y la propiedad 2 se deduce de (2.1). En cuanto a la propiedad 3: si A = aij, entonces kA = kaij, entonces (2.1) daEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-121.png

Finalmente, si B = bij, entonces A + B = cij donde cij = aij + bij Entonces (2.1) da la Propiedad 4:

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      Hay otra forma útil de pensar en la transposición. Si A = aij es una matriz m × n, los elementos a11, a22, a33, … se llaman la diagonal principal de A. Por lo tanto, la diagonal principal se extiende hacia abajo y hacia la derecha desde la esquina superior izquierda de la matriz A; se describe en los siguientes ejemplos:

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Por tanto, formar la transposición de una matriz A puede verse como “voltear” A alrededor de su diagonal principal, o como “rotar” A 180º alrededor de la línea que contiene la diagonal principal. Esto hace que la propiedad 2 del teorema 2.1.2 sea transparente.

Ejemplo ilustrativo 2.1_10

Resuelve para A si  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-124.png

Solución:

Usando el teorema 2.1.2, el lado izquierdo de la ecuación es

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Por lo tanto, la ecuación se convierte en

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Por lo tanto

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así que finalmente  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-128.png

Tenga en cuenta que el Ejemplo 2.1_10 también se puede resolver transponiendo primero ambos lados, luego resolviendo para AT y, por lo tanto, obteniendo A = (AT)T. El lector debe hacer esto

Matriz simétrica. La matriz  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-129.png en el Ejemplo 2.1_9 tiene la propiedad de que D = DT. Estas matrices son importantes; una matriz A se llama simétrica si A = AT. Una matriz simétrica A es necesariamente cuadrada (si A es m × n, entonces AT es n × m, entonces A = T fuerza n = m). El nombre proviene del hecho de que estas matrices exhiben una simetría sobre la diagonal principal. Es decir, las entradas que se encuentran directamente a lado y lado de la diagonal principal son iguales entre sí.

Por ejemplo  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-130.png es simétrica cuando b = b′, c = c′  y  e = e′.

Ejemplo ilustrativo 2.1_11

Si A y B son matrices cuadradas de tamaño n × n simétricas, demuestre que A + B es simétrica.

Solución:

Tenemos AT = A  y  BT = B, entonces, por el Teorema 2.1.2, tenemos (A + B)T = AT + BT = A + B. Por tanto, A + B es simétrica.

Ejemplo ilustrativo 2.1_12

Suponga que una matriz cuadrada A satisface A = 2AT. Demuestre que necesariamente A = 0.

Solución:

Si iteramos la ecuación dada, el Teorema 2.1.2 da

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Restar A de ambos lados da 3A = 0, entonces A = (1/3)(0) = 0.

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