Ecuaciones paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Cicloides y otras curvas paramétricas

      Imagínese ir en bicicleta por el campo. Los neumáticos permanecen en contacto con la carretera y giran en un patrón predecible. Ahora supongamos que una hormiga muy decidida está cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Entonces se cuelga del costado de la llanta y obtiene un viaje gratis. El camino que recorre esta hormiga, yendo la bicicleta por un camino recto, se llama cicloide (Figura 8.1_8). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de bicicleta) de radio a viene dada por las ecuaciones paramétricas

x(t) = a(t − sent), y(t) = a(1 − cost)

Para ver por qué esto es cierto, considere el camino que toma el centro de la rueda. El centro se mueve a lo largo del eje x a una altura constante igual al radio de la rueda. Si el radio es a, entonces las coordenadas del centro pueden estar dadas por las ecuaciones

x(t) = aty(t) = a

para cualquier valor de t. A continuación, considere la hormiga, que gira alrededor del centro a lo largo de una trayectoria circular. Si la bicicleta se mueve de izquierda a derecha, las ruedas giran en el sentido de las agujas del reloj. Una posible parametrización del movimiento circular de la hormiga (relativo al centro de la rueda) viene dada por

x(t) = −asent,  y(t) = cost

(El signo negativo es necesario para invertir la orientación de la curva. Si el signo negativo no estuviera allí, tendríamos que imaginar la rueda girando en sentido antihorario). Al tomar estas ecuaciones juntas se obtienen las ecuaciones para la cicloide.

x(t) = a(t sent)y(t) = a(1 cost)
Figura 8.1_8 Una rueda que viaja por un camino sin patinar; el punto en el borde de la rueda traza una cicloide.

Ahora suponga que la rueda de la bicicleta no se desplaza por una carretera recta, sino que se desplaza por el interior de una rueda más grande, como en la figura 8.1_9. En este gráfico, el círculo verde se desplaza alrededor del círculo azul en dirección contraria a las agujas del reloj. Un punto en el borde del círculo verde traza el gráfico rojo, que se llama hipocicloide.

Figura 8.1_9 Gráfico del hipocicloide descrito por las ecuaciones paramétricas que se muestran.

Las ecuaciones paramétricas generales para un hipocicloide son

Estas ecuaciones son un poco más complicadas, pero su obtención es algo similar a las ecuaciones de la cicloide. En este caso asumimos que el radio del círculo más grande es a y que el radio del círculo más pequeño es b. Luego, el centro de la rueda se desplaza a lo largo de un círculo de radio ab. Este hecho explica el primer término en cada ecuación anterior. El período de la segunda función trigonométrica en ambos x(t)  y  y(t) es igual a  2πb/(ab).

La razón a/b está relacionada con el número de cúspides en el gráfico (las cúspides son las esquinas o extremos puntiagudos del gráfico), como se ilustra en la Figura 8.1_10. Esta relación puede dar lugar a unos gráficos muy interesantes, dependiendo de si la relación es racional o no. La figura 8.1_9 corresponde a  a = 4  y  b = 1. El resultado es un hipocicloide con cuatro cúspides. La figura 8.1_10 muestra algunas otras posibilidades. Los dos últimos hipocicloides tienen valores irracionales para a/b. En estos casos los hipocicloides tienen un número infinito de cúspides, por lo que nunca regresan a su punto de partida. Estos son ejemplos de lo que se conoce como curvas que llenan el espacio.

Figura 8.1_10 Gráficos de varios hipocicloides correspondientes a diferentes valores de a/b.

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