Cálculo de curvas paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Área de superficie generada por una curva paramétrica

Recuerde el problema de encontrar el área de superficie de un volumen de revolución. En Longitud de curva y área de superficie, derivamos una fórmula para encontrar el área de superficie de un volumen generado por una función y = f (x) desde x = a hasta x = b, girado alrededor del eje x:

Ahora consideramos un volumen de revolución generado al girar una curva definida paramétricamente x = x(t),  y = y(t),  atb alrededor del eje x, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 8.2_10 Una superficie de revolución generada por una curva definida paramétricamente.

La fórmula análoga para una curva definida paramétricamente es

siempre que y(t) no sea negativo en [a, b].

Ejemplo ilustrativo 8.2_6  Encontrar el área de una superficie

Encuentre el área de la superficie de una esfera de radio r centrada en el origen.

Solución:
Partimos de la curva definida por las ecuaciones

x(t) = rcosty(t) = rsent,  0 ≤ t ≤ π.

Esto genera una semicircunferencia superior de radio r centrado en el origen como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 8.2_11 Una semicircunferencia generada por ecuaciones paramétricas.

Cuando esta curva gira alrededor del eje x, genera una esfera de radio r. Para calcular el área de la superficie de la esfera, usamos la fórmula del área de superficie generada por una curva paramétrica:

Esta es, de hecho, la fórmula conocida para el área de superficie de una esfera.

Ejercicio de control 8.2_6

Encuentre el área de superficie generada cuando la curva plana definida por las ecuaciones

x(t) = t³,  y(t) = t²,  0 ≤ t ≤ 1

gira alrededor del eje x.

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