Cálculo de curvas paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Integrales que involucran ecuaciones paramétricas

Ahora que hemos visto cómo calcular la derivada de una curva plana, la siguiente pregunta es la siguiente: ¿Cómo encontramos el área bajo una curva definida paramétricamente? Recuerde la cicloide definida por las ecuaciones x(t) = t − sent,  y(t) = 1 − cost. Suponga que queremos encontrar el área de la región sombreada en el siguiente gráfico.

Figura 8.2_6 Gráfico de una cicloide con el arco sobre [0, 2π] resaltado.

Derivar una fórmula para el área bajo la curva definida por las funciones

x = x(t),  y = y(t),  atb,

asumimos que x(t) es diferenciable y comenzamos con una partición regular del intervalo atb. Suponga que t₀ = a < t₁ < t₂ < ⋯ < tₙ = b  y considere la siguiente gráfica.

Figura 8.2_7 Aproximación del área bajo una curva definida paramétricamente.

Usamos rectángulos para aproximar el área debajo de la curva. La altura de un rectángulo típico en esta parametrización es

para algún valor 

en el i-ésimo subintervalo, y el ancho se puede calcular como

Así, el área del i-ésimo rectángulo está dada por

Entonces una suma de Riemann para el área es

Multiplicar y dividir cada área por titi − 1 da

Tomando el límite cuando n tiende al infinito da

Esto lleva al siguiente teorema.

TEOREMA 8.2.2 Área bajo una curva paramétrica

Considere la curva plana que no se interseca automáticamente definida por las ecuaciones paramétricas

x = x(t),  y = y(t),  atb

y suponga que x(t) es diferenciable. El área bajo esta curva está dada por

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-125.png

Ejemplo ilustrativo 8.2_4 Encontrar el área bajo una curva paramétrica

Encuentre el área bajo la curva de la cicloide definida por las ecuaciones

x(t) = t − senty(t) = 1 − cost,  0 ≤ t ≤ 2π.

Solución:

Usando la ecuación para el área dada por el teorema 8.2.2, tenemos

Ejercicio de control 8.2_4

Encuentra el área bajo la curva del hipocicloide definida por las ecuaciones

x(t) = 3cost + cos3ty(t) = 3sent − sen3t,  0 ≤ t ≤ π.

3 comentarios en “Cálculo de curvas paramétricas”

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.