Área y longitud del arco en coordenadas polares

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Ejercicios propuesto del Capítulo 8.4

Para los siguientes ejercicios, determine una integral definida que represente el área.

188. Región delimitada por r = 4

189. Región encerrada por r = 3senθ

190. Región en el primer cuadrante dentro del cardioide r = 1 + senθ

191. Región encerrada por un pétalo de r = 8sen(2θ)

192. Región encerrada por un pétalo de r = cos(3θ)

193. Región debajo del eje polar y encerrada por r = 1 − senθ

194. Región en el primer cuadrante encerrada por r = 2 − cosθ

195. Región encerrada por el bucle interno de r = 2 − 3senθ

196. Región encerrada por el bucle interior de r = 3 − 4cosθ

197. Región encerrada por r = 1−2cosθ y fuera del bucle interno

198. Región común a r = 3senθ  y  r = 2 − senθ

199. Región común a r = 2  y  r = 4cosθ

200. Región común a r = 3cosθ  y  r = 3senθ

 

Para los siguientes ejercicios, busque el área de la región descrita.

201. Entre r = 6senθ

202. Por encima del eje polar encerrado por r = 2 + senθ

203. Por debajo del eje polar y encerrado por r = 2 − cosθ

204. Encerrado por un pétalo de r = 4cos (3θ)

205. Encerrado por un pétalo de r = 3cos (2θ)

206. Encerrado por r = 1 + senθ

207. Encerrado por el bucle interior de r = 3 + 6cosθ

208. Delimitado por r = 2 + 4cosθ y fuera del bucle interior

209. Interior común de r = 4sen (2θ) y r = 2

210. Interior común de r = 3−2senθ y r = −3 + 2senθ

211. Interior común de r = 6senθ y r = 3

212. Dentro de r = 1 + cosθ y fuera de r = cosθ

213. Interior común de r = 2 + 2cosθ y r = 2senθ

 

Para los siguientes ejercicios, encuentre una integral definida que represente la longitud de arco.

214. r = 4cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2

215. r = 1 + senθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π

216. r = 2 secθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/3

217. r = eᶿ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 1

 

Para los siguientes ejercicios, encuentre la longitud de la curva en el intervalo dado.

218. r = 6 en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2

219. r = e³ᶿ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2

220. r = 6cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2

221. r = 8 + 8cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

222. r = 1 − senθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π

 

Para los siguientes ejercicios, use las capacidades de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva.

223. [T] r = 3θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π/2

224. [T] r = 2/θ en el intervalo π ≤ θ ≤ 2π

225. [T] r = sen²(θ/2) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

226. [T] r = 2θ² en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

227. [T] r = sen(3cosθ) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

 

Para los siguientes ejercicios, use la fórmula familiar de la geometría para encontrar el área de la región descrita y luego confirme usando la integral definida.

228. r = 3senθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

229. r = senθ + cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

230. r = 6senθ + 8cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

 

Para los siguientes ejercicios, use la fórmula familiar de geometría para encontrar la longitud de la curva y luego confirme usando la integral definida.

231. r = 3senθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

232. r = senθ + cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

233. r = 6senθ + 8cosθ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π

234. Verifique que si y = rsenθ = f (θ)senθ entonces dy/dθ = f ′(θ)senθ + f (θ)cosθ.

 

Para los siguientes ejercicios, encuentre la pendiente de una recta tangente a una curva polar r = f(θ). Sea x = rcosθ = f(θ)cosθ y y = rsenθ = f(θ)senθ, entonces la ecuación polar r = f(θ) ahora se escribe en forma paramétrica.

235. Use la definición de la derivada dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) y la regla del producto para deducir la derivada de una ecuación polar.

236. r = 1 − senθ; (1/2, π/6)

237. r = 4cosθ; (2, π/3)

238. r = 8senθ; (4, 5π/6)

239. r = 4 + senθ; (3, 3π/2)

240. r = 6 + 3cosθ; (3, π)

241. r = 4cos(2θ); puntas de las hojas

242. r = 2sen(3θ); puntas de las hojas

243. r = 2θ; (π/2, π/4)

244. Encuentre los puntos en el intervalo −π ≤ θ ≤ π en el que el cardioide r = 1 − cosθ tiene una recta tangente vertical u horizontal.

245. Para el cardioide r = 1 + senθ, encuentre la pendiente de la recta tangente cuando θ = π/3.

 

Para los siguientes ejercicios, encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de θ.

246. r = 3cosθ, θ = π/3

247. r = θ, θ = π/2

248. r = lnθ, θ = e

249. [T] Usar tecnología: r = 2 + 4cosθ  en  θ = π/6

 

Para los siguientes ejercicios, encuentre los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una recta tangente horizontal o vertical.

250. r = 4cosθ

251. r² = 4cos(2θ)

252. r = 2sen(2θ)

253. El cardioide r = 1 + senθ

254. Demuestre que la curva r = senθtanθ (llamada cisoide de Diocles) tiene la recta x = 1 como asíntota vertical.

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